классическая задача

[Oleg Zubelevich]

На столе стоит стакан цилиндрической формы. Радиус цилиндра $R$. В стакан налита идеальная несжимаемая жидкость плотности $\rho$, масса жидкости $m$. Жидкость размешивают ложкой и ее движение устанавливается так, что она вращается как твердое тело вокруг оси симметрии стакана с угловой скоростью $\omega$.
Найти форму свободной поверхности жидкости.

[Утундрий]

И что, даже тут можно сочинить "что-то топологическое"?

[triod]

Oleg Zubelevich в сообщении #613006 писал(а):

На столе стоит стакан цилиндрической формы. Радиус цилиндра $R$. В стакан налита идеальная несжимаемая жидкость плотности $\rho$, масса жидкости $m$. Жидкость размешивают ложкой и ее движение устанавливается так, что она вращается как твердое тело вокруг оси симметрии стакана с угловой скоростью $\omega$.
Найти форму свободной поверхности жидкости.

По идее должен быть параболоид вращения,Вы хотите получить уравнение в зависимости от $\rho$ и $\omega$?

[Oleg Zubelevich]

задача распадается на два случая и разбирать надо оба

[Утундрий]

Судя по отсутствию в условии $g$, жидкость вращается в невесомости...

[nestoronij]

Утундрий в сообщении #613293 писал(а):

Судя по отсутствию в условии $g$, жидкость вращается в невесомости...

Ну почему же. Стакан стоит, жидкость налита и вращается в стакане.

[Oleg Zubelevich]

всем кроме участника Утундрий
ясно , что сила тяжести есть, а данный участник просто флудит в теме от расстройства, что данная задача превосходит его способности. Все это так понятно

[Утундрий]

Вышеупомянутому участнику Утундрий, однако совершенно ясно нечто совсем другое. А именно, неспособность участника Oleg Zubelevich не запинаясь и не путаясь перечислить все исходные данные, необходимые для решения, как выше было верно отмечено, достаточно известной задачи. Далее, чтобы не быть голословным, участник Утундрий, надо полагать, должен продемонстрировать силушку свою математическую? Извольте, участник Oleg Zubelevich. Вот вам описаньице решеньица.

Перейдя к равномерно вращающейся системе отсчета, получаем гидростатику в поле с потенциалом

$$gz - \omega ^2 \frac{{r^2 }}{2}$$

откуда уравнение свободной поверхности

$$z = \frac{{\omega ^2 r^2 }}{{2g}}$$

Начнем с полубесконечного вниз вращающегося водного столба и будем отрезать от него ровно столько, чтобы получился заданный объем $V$. До тех пор пока

$$\omega < \omega _* \equiv \sqrt {\frac{{4gV}}{\pi R^4 }}} $$

вода смачивает все днище. Показательные величины здесь высота (максимальная) подъема жидкости $H$ (реализуется на стенке) и глубина жидкости на оси вращения $h$:

$$H = \frac{V}{{\pi R^2 }} + \frac{{\omega ^2 R^2 }}{{4g}}$$

$$h = \frac{V}{{\pi R^2 }} - \frac{{\omega ^2 R^2 }}{{4g}}$$

Когда частота превышает критическую - картина меняется. Глубина на оси $h$ теперь всегда равна нулю, так как на днище образуется сухое пятно, радиусом $r_m$, который можно извлечь из соотношения

$$V = \frac{{\pi \omega ^2 }}{{4g}}\left( {R^2 - r_m^2 } \right)^2 $$

Извлечение рискну доверить участнику Oleg Zubelevich. Думаю, ему это вполне по силам.

Высота же подъема $H$ пребывает в добром здравии, хотя уже и не та, не та...

$$H = \omega \sqrt {\frac{V}{{\pi g}}} $$

Что ж, парабола устала и линейною вдруг стала.

Собственно, вотъ.

Теперь же, глядя на решение я по-прежнему недоумеваю, накой было давать в исходных данных две величины, входящие во все интересные формулы только в виде отношения и опускать одну (зато какую!), без которой все разваливается? Был ли тут хитрый умысел или участник Oleg Zubelevich просто жидко обгадился вследствие непомерного надувания щек?

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #613344 писал(а):

Перейдя к равномерно вращающейся системе отсчета, получаем гидростатику в поле с потенциалом

$$gz - \omega ^2 \frac{{z^2 }}{2}$$

откуда уравнение свободной поверхности

$$z = \frac{{\omega ^2 r^2 }}{{2g}}$$

опечатку исправьте. Утверждения должны вытекать или из уравнений движения или из теорем динамики. А все остальное это ваш художественный свист на тему формулы, которую вы могли много где увидеть.
В качестве примера корректного решения этой задачи (в случае, когда дно стакана покрыто жидкостью) могу предложить ЛЛ-6 у меня это стр 42 гл1), этот учебник вам, наверное, ближе. И это решение стандартное. (Почти тоже самое , но в системе связанной с жикостью см. Седов МСС том 2)



А я открыл тему потому, что хотел предложить чуть менее стандартное решение, основанное на вариационном принципе.
Переходим в цилиндрическую систему координат $\psi,r,z$ связанную с жидкостью.
Пусть $z=f(r)$ -- график свободной поверхности
1 случай дно покрыто жидкостью

Потенциальная энергия: $dW(r,z)=\Big(gz-\frac{r^2\omega^2}{2}\Big)dm$

$$W[f]=\rho\int_0^{2\pi}d\psi\int_0^Rrdr\int_0^{f(r)}dz\Big(gz-\frac{r^2\omega^2}{2}\Big)$$

Этот функционал надо минимизировать при условии

$$m=\rho\int_0^{2\pi}d\psi\int_0^Rrdr\int_0^{f(r)}dz.\qquad (*)$$

Экстремалью этой задачи является $f(r)=\frac{r^2\omega^2}{2g}+\lambda$ Множитель Лагранжа $\lambda$ находится из уравнения (*)

2случай. Часть дна сухая. В интегралах надо изменить пределы интегрирования, при этом экстремаль окажется таже, но придется искать множитель лагранжа и радиус сухого пятна на дне из системы алг. уравнений
........
Если кому интересны более полные выкладки в Maple13 http://www.rapidshare.ru/2877385

[nestoronij]

Задача действительно классическая, она есть в пособии для поступающих в Вузы и там решена, но решена также длинно и не внятно. Я предлагаю решение длиной в одну формулу. Итак, при вращении любой элемент m имеет кинетическую энергию на расстоянии х от центра вращения. $\frac{m\omega^2x^2} {2} = mgh$ которая переходит в потенциальную над горизонтальным уровнем. Отсюда $h = \frac{\omega^2x^2} {2g} = mgh$ - парабола.

[Oleg Zubelevich]

nestoronij в сообщении #613373 писал(а):

там решена, но решена также длинно и не внятно

в ЛЛ-6 и у Седова она решена коротко и внятно
а что значит

nestoronij в сообщении #613373 писал(а):

переходит в потенциальную над горизонтальным уровнем

[Утундрий]

Опечатку исправил.

Oleg Zubelevich в сообщении #613362 писал(а):

Утверждения должны вытекать или из уравнений движения или из теорем динамики. А все остальное это ваш художественный свист на тему формулы, которую вы могли много где увидеть.

А на сей счет могу сказать только, что при всяком изложении умолчания неизбежны. Хотя бы просто от желания хоть сколько-то уважать собеседника и экономить ему же время, не заставляя тащиться вслед за своим излишне подробным изложением аж от самых "первых принципов". Также всегда лучше просто говорить, нежели вещать.

[nestoronij]

Так как вода текучая и на разные участки на расстоянии х на m действую разные силы горизонт нарушится. Стенки стакана этому способствуют. А куда деваться m -? только подняться над уровнем и причем в зависимости от х на разную высоту. Вот только в условии есть смущающие меня слова- рассматривать воду как твёрдое тело. Тогда поверхность прямая.

[Oleg Zubelevich]

nestoronij в сообщении #613404 писал(а):

Вот только в условии есть смущающие меня слова- рассматривать воду как твёрдое тело.

там нет таких слов

nestoronij в сообщении #613404 писал(а):

Так как вода текучая и на разные участки на расстоянии х на m действую разные силы горизонт нарушится. Стенки стакана этому способствуют. А куда деваться m -? только подняться над уровнем и причем в зависимости от х на разную высоту.

Я этих слов не понимаю. И, по-видимому, авторы задачника, на который Вы сослались и авторы учебников, на которые я ссылался таких и подобных рассуждений тоже не понимают. Иначе бы они не стали писать дифференциальные уравнения там, где можно произнести одну фразу.

[nestoronij]

Oleg Zubelevich в сообщении #613406 писал(а):

nestoronij в сообщении #613404 писал(а):

Вот только в условии есть смущающие меня слова- рассматривать воду как твёрдое тело.

там нет таких слов

1. Вода вращается как твёрдое тело (см. условие)
2.

Oleg Zubelevich в сообщении #613406 писал(а):

Я этих слов не понимаю. И, по-видимому, авторы задачника, на который Вы сослались и авторы учебников, на которые я ссылался таких и подобных рассуждений тоже не понимают. Иначе бы они не стали писать дифференциальные уравнения там, где можно произнести одну фразу.

Я понимаю эти слова как ЗСЕ и у каждого автора есть свой путь решения. Из Москвы в Питер можно ехать через Владивосток.