Задача на перестановки с повторениями?

[_alex_]

Здравствуйте!
Имеется задача:

Сколько существует решений уравнения $x_1+x_2+x_3=15$ при условиях
$0\leqslant x_1\leqslant 10$
$0\leqslant x_2\leqslant 6$
$0\leqslant x_3\leqslant 5$

Решаю двумя способами. Графическим и комбинаторным (через сочетания с повторениями). Решения не совпадают. (1-й спасоб - 27, 2й - 21)
Имеется аналогичная задача. Ее решают оба способа.
Вероятно, с ограничениями-неравенствами нельзя в общем случае применять комбинаторный метод. Но почему? В рассуждениях, описывающих метод ошибки я не вижу.

Спасибо за Ваши ответы! Если понадобится решение анологичной задачи, скину обязательно!

Добавлено спустя 9 минут 19 секунд:

Извените за неточность В условиях: Сколько существует целочисленных решений уравнения....

[Brukvalub]

Правильный ответ: 27 решений. Без описания используемого Вами "комбинаторного метода" найти Вашу ошибку не могу

[_alex_]

Решение задачи комбинаторным методом следующее:
1й шаг:
Ищем сколько существует неотрицательных целых решений уравнения (количество сочетаний с повторениями из 3 по 15)
$\widetilde{C}_3^{15} = C_{17}^2 = 136$

Далее, отсекаем решения, не удовлетворяющие системе неравенств.
Их вычисляем по формулам
$\widetilde{C}_3^{15-(10+1)} = C_6^2 = 15$
$\widetilde{C}_3^{15-(6+1)} = C_{10}^2 = 45$
$\widetilde{C}_3^{15-(5+1)} = C_{11}^2 = 55$

$136-15-45-55=21$

Если необходимо, могу переписать условие и решение в общем виде.

[Brukvalub]

Теперь ошибка видна: Вы неверно использовали формулу включений и исключений: решения, в которых, например, нарушаются сразу два ограничения в виде неравенств, Вы удаляете из числа решений два раза и т.п..

[_alex_]

Brukvalub
Спасибо! Разобрался. Тема закрыта