Энергия магнитного поля соленоида

[Alexs]

С магнитным полем и его параметрами я знаком в плотную не один десяток лет, но никогда не задумывался, почему энергия магнитного поля соленоида пропорциональна квадрату количества витков. Потому что верил на слово: учителям в школе; преподавателям в институте; справочникам в КБ, в НИИ. А тут столкнулся с одной задачкой и задумался. В результате
выячнил, что, если два витка с током находятся отдельно то их сумарная энергия равняется двум энергиям одного витка. А, если вместе то четырём энргиям одного витка, при этом ток не увеличивается. Волшебство какое-то, или я что-то пропустил, или ... .

[Munin]

Энергия поля пропорциональна квадрату напряжённости поля (что для электрического, что для магнитного). Поэтому при сближении двух витков вместе поля от них складываются по принципу суперпозиции, а энергия оказывается (2B)^2=4(B^2), то есть в четыре раза больше.

Для зарядов это ещё хорошо понятно на силовом языке: чтобы сблизить два заряда, надо затратить работу (потому что заряды одноимённые и отталкиваются), и эта дополнительная работа запасается в энергии поля.

Для витков с током рассуждения сложнее, потому что витки можно расположить и так, что они будут притягиваться, и так, что они будут отталкиваться. Поэтому надо разбираться детально с тем, как их сближают и как при этом ориентируют. Но можно взять готовый ответ из энергетического языка. Он всегда будет совпадать с силовым, пока силы консервативны.

Ещё для витков на практике есть тонкости, связанные с тем, как по ним пропускать ток. Кроме механических сил отталкивания витков появляются дополнительные силы, стремящиеся ток уменьшить или увеличить. Короче, немалый винегрет.

[Alexs]

Munin писал(а):

Для витков с током рассуждения сложнее, потому что витки можно расположить и так, что они будут притягиваться, и так, что они будут отталкиваться. Поэтому надо разбираться детально с тем, как их сближают и как при этом ориентируют.

Сейчас речь идёт только о соленоиде состоящем из двух витков, поэтому потоки направлены в одну сторону

Munin писал(а):

Ещё для витков на практике есть тонкости, связанные с тем, как по ним пропускать ток. Кроме механических сил отталкивания витков появляются дополнительные силы, стремящиеся ток уменьшить или увеличить. Короче, немалый винегрет.

Величина тока в витках неизменна в любом случае вместе они или врозь.

Munin писал(а):

Энергия поля пропорциональна квадрату напряжённости поля (что для электрического, что для магнитного). Поэтому при сближении двух витков вместе поля от них складываются по принципу суперпозиции, а энергия оказывается (2B)^2=4(B^2), то есть в четыре раза больше.

Поясните пожалуйста, в результате чего увеличивается энергия, если ни один из параметров не изменяется. Изменяется только растояние между витками, но этот параметр ни в одной из существующих формул не учитывается.

[Developer]

Ну, раз физика в лице Munin'а "не в состоянии объяснить" Вам, Alexs, феномен увеличения в четыре раза энергии двух одинаковых соленоидов, объединённых в один с удвоенным числом витков (шутка), привлечём простую электротехнику.
Энергия катушки индуктивности прямо пропорциональна индуктивности и квадрату тока через катушку $W_{1,2} = \frac 1 2 L_{1,2} I^2$, а индуктивность (и не только соленоида, но и многослойных катушек) прямо пропорциональна квадрату числа витков $L_{1,2} \approx \mu n^2 l S$ (l - длина соленоида, а S - площадь витка), тогда $W_{1+2} = \frac 1 2 L_{1+2} I^2 \approx \frac 1 2 \mu (2n)^2 l S I^2=$, и после этого всё Вам должно стать понятным...

[Alexs]

Developer, спасибо. Я вкурсе, что $ (n_1+n_2)^2 > n_1^2+n_2^2 $, но меня интересует не математика, а физика процесса. Индуктивность не параметр, а показатель. Его нельзя измерить, его можно только вычислить, а значит он полностью зависит от формулы и, если в формуле ошибка, то и показатель ошибочный. И судя по Вашим приближённым формулам Вы сами не совсем уверены в их справедливости. Я предпочитаю вычислять энергию магнитного поля по формуле $ W = \frac {V B^2} {2 mu_0 mu} $.
По крайней мере, индукцию можно измерить для контроля.
Вы скажите, что индукция прамо пропорциональна количеству витков. НО это не утверждение, а всего лишь предположение высказанное, когда-то в виде закона Био-Савара-Лапласа. Они предположили, что циркуляция индукции магнитного поля по контуру постоянная. НО тогда они не могли это проверить. Небыло приборов. А потом некому было проверить, все были заняты. И чем этот закон подтвержден на сегодняшний день?Лично я знаю, что этот закон для магнитных полей не применим, так как энергия в магнитном поле распределяется не равномерно поэтому потоянной циркуляции по контуру не существует. Именно поэтому на практике, как правило используются только импирические формулы полученные экспериментальным путём. По моему у нас есть теиа для обсуждения.

[Munin]

Alexs писал(а):

Сейчас речь идёт только о соленоиде состоящем из двух витков, поэтому потоки направлены в одну сторону

Это в конечном состоянии. А я про процесс сближения.

Даже если витки одинаково ориентированы, можно сближать их повдоль оси (тогда они будут притягиваться), а можно поперёк (тогда они будут отталкиваться).

Alexs писал(а):

Величина тока в витках неизменна в любом случае вместе они или врозь.

Это один из вариантов условий. Он требует идеальных источников тока. Реальные источники тока, например, имеют внутреннее сопротивление.

Alexs писал(а):

Munin писал(а):

Энергия поля пропорциональна квадрату напряжённости поля (что для электрического, что для магнитного). Поэтому при сближении двух витков вместе поля от них складываются по принципу суперпозиции, а энергия оказывается (2B)^2=4(B^2), то есть в четыре раза больше.

Поясните пожалуйста, в результате чего увеличивается энергия, если ни один из параметров не изменяется. Изменяется только растояние между витками, но этот параметр ни в одной из существующих формул не учитывается.

Конфигурация системы (взаимное расположение её частей) - это тоже параметр, и один из самых существенных. Он изменяется.

Всё дело в том, что рассматривается поле. Поле распространяется вокруг объекта, который служит его источником, и заполняет пространство. Так что поле всегда "чувствует" пространственное расположение предметов (тех, которые с полем взаимодействуют), и "рапортует" об этом расположении источникам поля (которые в свою очередь испытывают от поля силу реакции).

Индуктивность (как величина, относящаяся к полю), таким образом, чувствительна не только к пространственному расположению проводника, для которого она измеряется, но и к разным остальным пространственным соседям. Если рядом положить железяку - индуктивность изменится. Если в соленоид внести сердечник - индуктивность изменится. Вплоть до того, что если рядом чихнуть, индуктивность изменится. То же относится к электрической ёмкости. Конструкции конденсаторов и катушек индуктивности призваны не только повышать величину этих параметров, но и минимизировать влияние окружения.

Alexs писал(а):

Изменяется только растояние между витками, но этот параметр ни в одной из существующих формул не учитывается.

Учитывается, только не в электротехнических формулах, а в формулах теории электромагнитного поля. Там индуктивность вычисляется как интеграл по всем-всем-всем проводам в пространстве, создающим магнитное поле (за счёт внешних токов, или индукционно возбуждённых). В интеграл входит и расстояние между проводами.

Добавлено спустя 8 минут 19 секунд:

Alexs писал(а):

И судя по Вашим приближённым формулам Вы сами не совсем уверены в их справедливости.

Это большое заблуждение. Приблжённые формулы не имеют ничего общего с уверенностью в их справедливости. Они просто дают не совсем точный ответ (и всегда можно узнать, насколько неточный).

Alexs писал(а):

НО это не утверждение, а всего лишь предположение высказанное, когда-то в виде закона Био-Савара-Лапласа. Они предположили, что циркуляция индукции магнитного поля по контуру постоянная. НО тогда они не могли это проверить. Небыло приборов. А потом некому было проверить, все были заняты.

Вообще-то проверили. Сегодня это одно из уравнений Максвелла (в интегральной форме), надёжно подтверждённое экспериментально.

Alexs писал(а):

И чем этот закон подтвержден на сегодняшний день?Лично я знаю, что этот закон для магнитных полей не применим, так как энергия в магнитном поле распределяется не равномерно поэтому потоянной циркуляции по контуру не существует.

Вы плохо знаете понятие циркуляции и связь индукции магнитного поля с энергией.

Alexs писал(а):

Именно поэтому на практике, как правило используются только импирические формулы полученные экспериментальным путём.

Не "импирические", а эмпирические, и это неправда. Формулы, используемые на практике, получены строго математически именно из уравнений Максвелла (в том числе, из закона Био-Савара).

[Developer]

Добавлю, что изменение энергии магнитного поля связано с изменением магнитного потока через площадь контура соотношением $dW = Id\Phi$.
Поскольку величина магнитного потока - это $\Phi = \int_S \vec B d\vec S$, и величина индукции магнитного поля соленоида $B = \mu n I$.
Поэтому и получается то, что получается...(индуктивность соленоида зависит от квадрата числа витков).

[Munin]

Кстати, название неправильное. $\oint \mathbf{H} d\mathbf{l}=\sum{I}+\int \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} d\mathbf{n}$ - это закон Ампера, а не Био-Савара.

[Alexs]

Developer, Munin, спасибо за разъяснения. Вы же понимаете, что вопрос у меня возник из-за того, что мои представоения о магнитном поле не вписались в существующие обще принятые представления. Я понял, где моя ошибка и согласен, что в принципе энергия магнитного поля могла быть любой. В конце концов она накапливается пока течёт ток. Поэтому медленно или быстро, но количество энергии может накопливаться и пропорционально квадрату витков. Но у меня есть одна небольшая просьба. Я не доверяю формулам в слепую, поэтому предпочитаю пользоваться только проверенными на практике. Munin, вы говорили, что

Munin писал(а):

Вообще-то проверили. Сегодня это одно из уравнений Максвелла (в интегральной форме), надёжно подтверждённое экспериментально.

Не могли бы Вы дать ссылку на материал содержащий описание этого эксперимента и его результатов.
Заранее благодарен.

[Developer]

Калашников С.Г. Электричество (стр. 162 и далее)...
Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм (стр. 55 и далее, стр. 321 и далее)...

Добавлено спустя 4 минуты 12 секунд:

Если же хотите в оригинале, ищите "Труд, представленный Королевской Академии наук 2 октября 1820 г. и содержащий резюме докладов, прочитанных в Академии 18 и 25 сентября 1820 г., относительно действий электрических токов" самого Андре-Мари Ампера, которого Максвелл назвал "Ньютоном электричества"...

[Munin]

Alexs писал(а):

Я понял, где моя ошибка и согласен, что в принципе энергия магнитного поля могла быть любой. В конце концов она накапливается пока течёт ток.

Уфф. Эта ошибка ещё хуже. Она не накапливается из-за тока. Пока ток постоянный - и энергия магнитного поля постоянна.

[Alexs]

Developer, большое спасибо за ссылки. Читаю.

Добавлено спустя 43 минуты 5 секунд:

Munin, Вы уж извините меня за мои вопросы. Я профессиональный разработчик систем управления промышленных роботов и роботизированных комплексов с большим стажем. А это преимущественно цифровая техника и она мне нравилась. Аналоговыми узлами я занимался редко и только при крайней необходимрсти, то есть с не охотой. Но это не означает, что я запрограммированный болванчик. которому не дано даже думать о чём-то другом.
Я с детства изучаю древние рукописи и знаю, что наши очень далёкие предки знали об этом мире гораздо больше, чем мы сейчас. Да, знания утеряны. От туда же я знаю и природу, и происхождение пространства нашей Вселенной, а также природу магнитного и злектрического полей, и эти знания немного не совпадают с существующими представлениями. К тому же математика расчёта этих полей утеряна вместе с древними языками. Поэтому Вы уж не судите строго меня за мои вопросы.

[Alexs]

Munin писал(а):

... Она не накапливается из-за тока. Пока ток постоянный - и энергия магнитного поля постоянна.

Так значит величина энергии магнитного поля жёстко привязана к величине тока и если меняется то только из-за проницаемости окружающей среды. Следовательно, если взять отрезок проводника с током, то количество энергии в магитном поле вокруг этого отрезка всегда будет соответствовать величине тока на этом отрезке. А если к нему присоединить ещё один такой же отрезок с таким же током, при этом пренебречь диаметром провода, то такая конструкция будет абсолютно аналогична увеличению тока в одном проводнике в два раза. Таким образом объединение проводников приводит к увеличению тока в локальной области пространства, а поскольку энергия магнитного поля пропотциональна квадрату тока, то энергия магнитного поля двух проводников увеличится на количество объединёных проводников в квадрате, то есть на $ n^2 $. Такое объяснение меня вполне устраивает. Оно и простое, и убедительное, и не противоречит действительности. Только у меня вопрос, если эти отрезок с током согнуть в бублик, то полная энергия его магнитного поля изменится или останется прежней? И если изменится, то как?

[Developer]

Конечно изменится! (Полагаю, что Ваш вопрос не только к Munin'у)
Вы ведь, изгибая проводник в "бублик" (в круговой виток, другими словами), изменяете и геометрию проводника, и его индуктивность, а заодно с ними и магнитный поток...
Вот формулы для расчёта индуктивности (1) отрезка круглого прямого провода (длиной l и диаметром d) и (2) одиночного круглого витка (диаметром D и диаметром провода d), попробуйте сравнить:
(1) $L_{\text {провода}} = 2l \left(arsh(l/d) + d/l - \sqrt {(d/l)^2 +1} \right)$. Для проверки: l=1 см; d=0,1 см; L = 4,186 нГн (синус гиперболический).
(2) $L_{\text {витка}} = 2 \pi D \left(ln(8D/d) - 1,75) \right)$. Для проверки: D=2 см; d=0,1 см; L = 41,785 нГн.
Формулы взяты из Мейнке Х., Гундлах Ф. Радиотехнический справочник. т. 1. -М.: Госэнергоиздат, 1961.

Добавлено спустя 12 минут 38 секунд:

Например, я согнул сантиметровый отрезок провода в круглый виток (из первого примера) и получил новое значение индуктивности 47,4296 нГн.
Можете сравнить...

[Munin]

Alexs писал(а):

Munin, Вы уж извините меня за мои вопросы... Но это не означает, что я запрограммированный болванчик. которому не дано даже думать о чём-то другом.

Я ничего такого не подразумевал, и не нужно передо мной извиняться. Неужели я так грозно выгляжу? Если я указываю на ошибки, это вовсе не значит, что я ставлю их вам в вину: ошибиться имеет право каждый. Не стоит только настаивать на ошибках, и не стоит пренебрегать проверкой, особенно когда речь идёт об использовании расчётов на практике, и ошибки могут привести к ущербу.

Alexs писал(а):

Я с детства изучаю древние рукописи и знаю, что наши очень далёкие предки знали об этом мире гораздо больше, чем мы сейчас.

А вот это я считаю заблуждением сродни религиозному. Существует несколько типов человеческой психики, и некоторым людям (почти как воздух) необходимо верить в светлое будущее, а некоторым - в золотое прошлое (точно так же некоторым потребна вера в большого, сильного и доброго дядю наверху, который в обиду не даст, и всё потом сделает по справедливости).

Alexs писал(а):

От туда же я знаю и природу, и происхождение пространства нашей Вселенной, а также природу магнитного и злектрического полей, и эти знания немного не совпадают с существующими представлениями.

Существует достаточно строгое понятие научного знания, и ваши знания вряд ли в него вписываются (научное знание - это проверяемое на практике, и подтверждённое на практике, и потому достоверное и пригодное для использования). Если вы говорите "я знаю" в религиозном или мистическом смысле - пожалуйста, я ничего не имею против (только это вряд ли уместно на "Научном форуме").