2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сравнение функций и интеграл (задача из Демидовича)
Сообщение11.04.2007, 18:01 


04/12/06
70
Решаю задачу из Демидовича (а, значит, простую): доказать, что если интеграл $\int_{a}^{+\infty}f(x)\,dx$ сходится и $f(x)$ --- монотонная функция, то $f(x)=O(1/x)$.

По-моему, формулировка несколько неполна, ведь надо указывать в окрестности какой точки $f(x)=O(1/x).$ Однако, как я понимаю, требуется доказать, что $f(x)=O(1/x)$ при $x\to+\infty.$ Рассуждаю так. Так как функция монотонна, то при достаточно больших значениях аргумента знак у нее менятся не будет. Для определенности пусть функция будет положительной. Пойдем от противного. Предположим, что $\forall C>0\quad\exists x_{0}$ такое,что $\forall x>x_{0}$ $f(x)>C/x$. Но интеграл от $f(x)$ сходится, значит, должен сходится такой же интеграл от $1/x,$ а он не может сходиться. Противоречие.

Нет ли ошибок? Смущает то, что я как-то мало использовал условие монотонности (хотя, быть может, замечание про знак функции и является самым главным, что можно "вытянуть" из монотоннсти?). Вроде бы я еще смог решить эту задачу, используя вторую теорему о среднем, но там меня кое-что настараживает. Может, кто поделится верным решением с использованием этой теоремы (если, конечно, это теорема вообще помагает).?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнение функций и интеграл
Сообщение11.04.2007, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Maximum писал(а):
Пойдем от противного. Предположим, что $\forall C>0\quad\exists x_{0}$ такое,что $\forall x>x_{0}$ $f(x)>C/x$.

Это не есть условие, противоположное $f(x)=O(1/x)$.


Самое простое, что приходит в голову, --- это надо рассмотреть интеграл $\int_{2^{n-1}}^{2^n}f(x)\,dx$, $n\in\mathbb{N}$. Используя монотонность функции, легко получить $f(x)=o(1/x)$, $x\to+\infty$, поэтому тем более $f(x)=O(1/x)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.04.2007, 18:56 


04/12/06
70
RIP писал(а):
Это не есть условие, противоположное $f(x)=O(1/x)$

В 1 томе "Курса математического анализа" Кудрявцева дано такое определение:
Цитата:
Если для двух функций $f$ и $g$ существует такая проколатая окрестность точки $x_0$ и постоянная $c>0$, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $|f(x)|\leqslant c|g(x)|$, то пишут $f(x)=O(g(x))$ при $x\to x_{0}$
Выходит, я неправильно построил отрицание этого предложения? А как правильно будет тогда?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.04.2007, 19:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Maximum писал(а):
А как правильно будет тогда?

Запишите определение через кванторы. Тогда будет проще построить отрицание

P.S. Вы предположили, что $xf(x)\to+\infty$, $x\to+\infty$, а Вам надо предположить, что $xf(x)$ не ограничено сверху. Чувствуете разницу? :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.04.2007, 20:59 


04/12/06
70
RIP писал(а):
Чувствуете разницу?
Да уж почувствовал. :) Если функция не ограничена сверху, то это, конечно, не значит, что стремится к бесконечности.

В условиях предыдущей задачи, я хочу доказать вещь попроще: что $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0.$ Действительно, так как функция монотонна и интеграл от нее сходится, то она ограничена. Монотонна и ограничена, значит, имеет предел. Если предположить, что этот предел не ноль, то тогда $1=O(f(x)).$ То есть интеграл от 1 сходится. Противоречие. Верно ли?

И, кстати, можно ли из этого результата получить решение исходной задачи?

А то мне не совсем ясно, как из Вашей подсказки легко получить, что $f(x)=o(1/x).$ :?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.04.2007, 21:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Maximum писал(а):
А то мне не совсем ясно, как из Вашей подсказки легко получить, что $f(x)=o(1/x).$ :?

Идея такая. Пусть для определённости $f$ неотрицательна, следовательно, невозрастает. При больших $n$ интеграл маленький, но снизу его можно оценить через $f(2^{n})$...

Добавлено спустя 5 минут 2 секунды:

Maximum писал(а):
В условиях предыдущей задачи, я хочу доказать вещь попроще: что $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0.$ Действительно, так как функция монотонна и интеграл от нее сходится, то она ограничена. Монотонна и ограничена, значит, имеет предел. Если предположить, что этот предел не ноль, то тогда $1=O(f(x)).$ То есть интеграл от 1 сходится. Противоречие. Верно ли?

В принципе верно, но в последнем заключении (что интеграл от 1 сходится) важно, что f знакопостоянна. Да и ограниченность f можно не доказывать отдельно. Предел-то всегда существует, только может равняться $\pm\infty$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.04.2007, 21:36 


04/12/06
70
RIP писал(а):
Идея такая. Пусть для определённости $f$ неотрицательна, следовательно, невозрастает. При больших $n$ интеграл маленький, но снизу его можно оценить через $f(2^{n})$ ...
А! Понял: получается так:$\frac{2^{n}}{2}f(2^{n})\leqslant I$, где $I$ --- тот самый маленький интеграл. При $n\to\infty$ это значит, что $\lim\limits_{x\to\infty}xf(x)=0$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.04.2007, 21:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Maximum писал(а):
При $n\to\infty$ это значит, что $\lim\limits_{n\to\infty}xf(x)=0$.

Вот тут бы надо поподробнее. В принципе я сам ступил, лучше рассматривать интеграл $\int_{x/2}^xf(t)\,dt$. Или считать $n$ необязательно натуральным.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.04.2007, 21:48 


04/12/06
70
RIP писал(а):
лучше рассматривать интеграл $\int_{x/2}^{x} f(t)\,dt$
Так это очень хороший интеграл! :) Я думаю, его применение поможет решить немало подобных задач. Спасибо за находку!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group