Предел и интеграл

[Keter]

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на промежутке $[0; 1]$, а функция $g(x)$ периодическая с периодом $T$ и непрерывна на $[0; T]$. Найти предел

$$\lim_{n \rightarrow \infty}{\int\limits_{0}^{1}f(x)g(nx)}dx.$$

Какие понятия используются в решении? В какой книге лучше с ними ознакомиться, чтобы решить задачу? Если можно, объясните без книг.

[ИСН]

dx

[Keter]

(Оффтоп)

ИСН, почему то я чувствовал, что Вы напишите в этой теме спасибо))

[AKM]

Keter в сообщении #611927 писал(а):

Какие понятия используются в решении?

В решении используется понятие определеённого интеграла, которое Вам, похоже, несколько чуждо. У меня плохо очень интернет фурычит, поэтому ссылку не приведу. Но Вы найдёте легко сами поиском по форуму, по ключевому слову "кирпич". Сообщение от автора ИСН.

[Keter]

AKM, что-то у меня тоже интернет не хочет сегодня работать, поиск не работает, ну может позже заработает

-- 28.08.2012, 21:41 --

AKM, заработал, нашел

-- 28.08.2012, 21:42 --

AKM, ну понятие определенного интеграла мне не так уж чуждо, скорее я не понимаю какую роль играет периодическая функция?

-- 28.08.2012, 21:54 --

Мне удалось найти пару формул, но там на $g(x)$ налаживаются условия (монотонность, неотрицательность и т.д.)

[AKM]

Keter в сообщении #611945 писал(а):

... но там на $g(x)$ налаживаются условия (монотонность, неотрицательность и т.д.)

Глагол, действительно, трудный, типа позвОнит она мне или позвонИт. И я реально не помню, накладываю ли я бардак в шкаф с одеждой, или налаживаю. Или ложу. Или кладу. На всё это.
Но точно помню, что условия всегда накладываются.
Достали меня эти Правила форума с ихними грамматическими придирками.

[Keter]

AKM, да, Вы правы, положить, но класть

[Dan B-Yallay]

Deleted.

UPD. Почему-то решил, что под периодической подpа3умевается какой-нить синус-косинус.
Ушел в транс думать о вечном.

[AKM]

(Dan B-Yallay)

Dan B-Yallay в сообщении #611993 писал(а):

Почему-то решил, что под периодической подарумевается какой-нить синус-косинус.

Я было тоже написал "очевидный" ответ, но вовремя осознался и удалил.

Dan B-Yallay в сообщении #611993 писал(а):

Ушел в транс думать о вечном.

А чо, у вас там грыбочки не растут лесу, надо непременно в какую-нибудь высокопарную ерунду уйти?

[Dan B-Yallay]

(AKM)

Я в грибочках плохо разбираюсь и лес далеко, а в магазинах только пищевые. Они так не сносят.

[ИСН]

Keter, Вам оно точно надо? Тут довольно непросто понять, что на самом деле спрашивается, и объект какой природы в принципе мог бы быть ответом.

(Оффтоп)

По-моему, это будет ${1\over T}\int\limits_0^1f(x)dx\int\limits_0^Tg(x)dx$. Когда ответ длиннее условия, то встаёт вопрос, а стоило ли его искать.

[Keter]

ИСН, мне принципиально понять, какие, грубо говоря, знания используются. Ну вот когда я решаю квадратное уравнение, я иногда думаю "воспользуюсь ка я теоремой Виета" или, когда дана сумма функция и нужно понять периодическая она или нет, то я знаю, что она периодическая, если периоды обеих соотносимые. Что то в таком роде. То есть, когда Вы писали "по-моему это будет..." Вы пользовались какими-то знаниями, я хочу понять какими и разобраться. Например, интеграл от периодической функции, интеграл от произведения двух функция, что в этой задаче важно знать?

[ИСН]

Ага, попробуем. Вы ищете специализированные знания там, где их нет. Нет никакой имеющей отношение к делу теоремы про интеграл от периодической функции (как нет и самого интеграла от периодической функции, потому что функция $f(x)g(nx)$ не периодическая). Нет никакой теоремы про интеграл от произведения двух функций. А пользовался я общими знаниями о том, что такое функции и как они себя ведут. Крутил так и сяк, мысленно рисовал графики: положим, $g(x)$ у нас проходит вот так, тогда $g(nx)$...

[Keter]

ИСН, я тоже об этом думал, не могу понять как может себя вести функция $g(nx)$ при разных $x$, ну или, например, при $x=0$, или $x \rightarrow 0$.

[ИСН]

Не надо при разных x. (Нарисуйте график от балды - вот так и ведёт. Если с фантазией плохо, попросите какого-нибудь пятилетнего ребёнка.) Надо - при разных n.