Лагранжиан и вариационное исчисление

[apv]

Почему Лагранжиан считается функцией независимых переменных координат $q$ и производных координат $\dot{q}$ (явную зависимость от времени не рассматриваем)

$$L=L(q,\dot{q})\text{ ?}$$

Ответ а-ля "потому что так мы получим правильные законы движения из варьирования действия" не годится, ибо тривиален.
Из законов Ньютона, понятно, что для того, чтобы описать движение информации о начальном положении ($q$) не достаточно для описания движения, нужно еще знать и начальную скорость ($\dot{q}$). То, что в Лагранжиане должно быть минимум два набора независимых переменных $q$ и $\dot{q}$ естественно предположить помня про законы Ньютона.
Заглянем теперь в ЛЛ1, авторы начинают изложение механики с принципа минимальго (экстремального) действия $\delta S=\delta \int{ L(q,\dot{q},t) dt }=0$
Так как координаты и скорости независимы, значит и варьировать мы их должны независимо

$$\delta S = \int{\left(\frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q}} \right) =0 $$

Пока вроде все логично.
А потом случается, казалось бы нелогический ход, цитирую:

Цитата:

Замечая, что $\delta \dot{q} = \frac{d}{dt} \delta q$

Вроде бы все правильно, это равенство получено из определения скорости $\dot{q} = \frac{dq}{dt}$, но разьве это равенство не говорит, что вариация скорости и вариация координат НЕ независимы?

Кстати, не один я такой тупой, что задаю этот вопрос, оказыается такой вопрос иногда всплывет в разных формах. Например, нашел в книге "Applied differential geometry" WILLIAM L. BURKE прям эпиграф

Цитата:

To all those who, like me, have wondered how in hell you can change $\dot{q}$ without changing $q$.

Конечно радует то, что прочтя эту книгу, я пойму в чем дело, но удручает, что это будет совсем не скоро. Если есть соображения у уважаемого сообщества умных людей, буду весьма признателен за их изложение.

[EvilPhysicist]

apv в сообщении #611857 писал(а):

но разьве это равенство не говорит, что вариация скорости и вариация координат НЕ независимы?

Говорит. Но на сколько я понимаю, никто и не требует независимого варьирования координат и скоростей. По крайней мере, я сейчас этого в ЛЛ-2 не нашёл.

[apv]

EvilPhysicist в сообщении #611871 писал(а):

По крайней мере, я сейчас этого в ЛЛ-2 не нашёл.

Нужно в ЛЛ1 искать, параграф 2.

[EvilPhysicist]

apv в сообщении #611873 писал(а):

Нужно в ЛЛ1 искать.

Да, с цифирькой ошибся. Смотрел в ЛЛ-1, в том самом месте, где варьируется действие. Требования независимости варьирования $q$ и $\dot q$ не увидел. Может, конечно, проглядел.
Но если оно там есть, то я с вами согласен.

[apv]

EvilPhysicist в сообщении #611875 писал(а):

Требования независимости варьирования $\dot{q}$ и $q$ не увидел.

А разьве формула

$$\delta S = \int{\left(\frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q}} \right) =0 $$

не предполагает того, что переменные варьируются независимо?

ЗЫ Это формула непронумерованная между (2.4) и (2.5) в ЛЛ1 пар. 2.

[EvilPhysicist]

apv в сообщении #611878 писал(а):

не предполагает того, что переменные варьируются независимо?

Не предполагает. Она предполагает, что в Лагранжиан входят только $q$ и $\dot q$ и ничего больше.
То есть формально, сначала мы смотри на $q$ и $\dot q$ как на независимые величины, а потом как на независимые. Делаем мы так, чтобы получить хорошие уравнения.

[Munin]

apv в сообщении #611857 писал(а):

Ответ а-ля "потому что так мы получим правильные законы движения из варьирования действия" не годится, ибо тривиален.

Это, по сути, экспериментальный факт.

apv в сообщении #611857 писал(а):

Из законов Ньютона, понятно, что

А сами законы Ньютона откуда? Они тоже основаны на экспериментальных фактах. Из одних и тех же фактов можно вывести законы Ньютона, принцип наименьшего действия с лагранжианом от производных не выше первой, и из этих теоретических моделей - одну из другой, в обе стороны.

apv в сообщении #611857 писал(а):

Заглянем теперь в ЛЛ1

Загляните в Арнольда "Математические методы классической механики". Он явно проговаривает, что это экспериментальный факт.

apv в сообщении #611857 писал(а):

разьве это равенство не говорит, что вариация скорости и вариация координат НЕ независимы?

На самом деле, фокус не здесь. Фокус чуть выше. На самом деле, конечно, $L$ не функция $q$ (которая каждому числу $q$ сопоставляет число $L(q)$). На самом деле, $L$ - оператор, который берёт функцию $q(t),$ и выдаёт в результате новую функцию $L[q(t)](t).$ Но работать с операторами всерьёз - довольно сложно. Поэтому мы замечаем, что этот оператор имеет довольно простой вид: он включает в себя взятие производной, $L(\tfrac{d}{dt}),$ причём только в первой степени - то есть фактически, берёт значения самой функции $q(t)$ и её первой производной $\dot{q}(t),$ и от них уже ведёт себя просто как функция. Потом, обращаясь к вариационному исчислению, мы выясняем, что для таких операторов выполняется

$$\delta L(q,\dot{q})=\dfrac{\partial L}{\partial q}\delta q+\dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta\dot{q},\qquad(*)$$

как будто для него $q(t)$ и $\dot{q}(t)$ - независимые аргументы. Всё, после использования этой формулы мы можем обратиться уже к реальному смыслу $\dot{q}(t),$ и заметить, что она, конечно, не независима от $q(t),$ и их вариации тоже не независимы. Говорить об их якобы-независимости нужно было только для получения (*).

А Бёрке - замечательный автор, и довольно глубоко глядящий, но на первых этапах стоит ознакомиться с более общепринятым изложением предмета. А то Бёрке уведёт в дебри дифференциальной геометрии и бесконечномерных пространств, и поминай как звали.

[apv]

EvilPhysicist в сообщении #611880 писал(а):

То есть формально, сначала мы смотри на $q$ и $\dot q$ как на независимые величины, а потом как на зависимые. Делаем мы так, чтобы получить хорошие уравнения.

Ага, а в результате выглядит это как математическое трюкаческтво, как-то нелогично.

Munin в сообщении #611881 писал(а):

Загляните в Арнольда "Математические методы классической механики".

Ага, теперь уже где-то видно еле заметный свет в конце тунеля.
И Арнольд и Бёрке твердят одно и то же с точностью до...:

Цитата:

Лагранжева механическая система задается многообразием («конфигурационным пространством») и функцией на его касательном расслоении («функцией Лагранжа»).

Цитата:

The correct space for $L dt$ [as 1-form] is the line-element contact bundle of configuration space.

Если я правильно понял Бёрке, то производная Ли от 1-формы в касательном расслоении как-то приводит к формуле, которая по виду похожа на то, что эти две переменные кажутся независимыми. Тут я, к сожалению, пока плохо представляю себе геометрически что- такое производная Ли. Где-то в МТУ об этом говорилось.

Munin в сообщении #611881 писал(а):

На самом деле, $L$ - оператор ...

Как я понимаю, операторный формализм и формализм 1-форм у Бёрке просто разные представления одного и того же.

В общем, спасибо, хоть понятно где копать.

[EvilPhysicist]

apv в сообщении #611896 писал(а):

Ага, а в результате выглядит это как математическое трюкаческтво, как-то нелогично.

Ну как это не логично.
Вот пусть у вас есть функция $f$, про которую вам точно известно, что она зависит только от $x$ и от $x^2$. И вам надо получить условия её экстренума.
Если действовать в лоб, то вы получите стандартное $f'=0 $.
Если же взгляните на неё формально как на функцию двух переменных, то получите $\cfrac{\partial f}{\partial x} dx + \cfrac{\partial f}{\partial(x^2)} d(x^2)=0 $, из которого легко получить $\cfrac{\partial f}{\partial x} + 2x \cfrac{\partial f}{\partial (x^2)}=0 $.
Согласитесь, второе уравнение даёт больше информации. Точно так же и тут.

[Oleg Zubelevich]

Правильный порядок действий.

1) ЛЛ-1 выбросить в помойку
2) прочитать основы вариационного счисления по Смирнову Курс высшей математики том 4
3) Приложения вар. счисления к механике освоить по Арнольду "Мат. методы"

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #611974 писал(а):

Правильный порядок действий.

1) ЛЛ-1 выбросить в помойку

Мнение Oleg Zubelevich выбросить в помойку.

[Bulinator]

Munin в сообщении #611881 писал(а):

На самом деле, фокус не здесь.

Какой фокус? Пусть у нас есть траектория $q(t)$. Скорость на этой траектории равна $\dot{q}(t)$. Изменим траекторию на $\delta{q}(t)$. Т.е. изменение траектории не константно, а зависит от времени. Скорость, соответственно, изменится на $\delta{\dot{q}}(t)=\frac{d{\delta q}(t)}{dt}$

[Bulinator]

Munin в сообщении #611881 писал(а):

На самом деле, фокус не здесь.

Какой фокус? Пусть у нас есть траектория $q(t)$. Скорость на этой траектории равна $\dot{q}(t)$. Изменим траекторию на $\delta{q}(t)$. Т.е. изменение траектории не константно, а зависит от времени. Скорость, соответственно, изменится на $\delta{\dot{q}}(t)=\frac{d{\delta q}(t)}{dt}$

[Oleg Zubelevich]

Bulinator в сообщении #612017 писал(а):

Пусть у нас есть траектория $q(t)$

вам, любезнейший , сперва надо освоить разницу между функцией и траекторией, а уж потом пытаться кому-то что-то разъяснять

[Munin]

Bulinator
Разумеется. Я это и сказал: $\delta q$ и $\delta\dot{q}$ не независимы. Чё-то вы не вчитались...