Помогите разобраться с производной!

[geniy88]

Здравствуйте, никак не могу решить пример до конца, незнаю где ошибка.

Пример: $\vec{x} \in \mathbb{R}^n$ и $f : [0, \infty ) \rightarrow \mathbb{R}$, нужно доказать, что

$D_{x} f(|\vec{x}|)=f'(|\vec{x}|) \frac{\vec{x}}{|\vec{x}|}$

Я начал решать так, $D_{x} f(|\vec{x}|)=(\frac {\partial {f}} {\partial {x_1}} \frac {x_1} {\sqrt { {x_1}^2 +...+{x_n}^2 } },...,\frac {\partial {f}} {\partial {x_n}} \frac {x_n} {\sqrt { {x_1}^2 +...+{x_n}^2 } })$
$\frac {\vec{x}} {|\vec{x}|}= (\frac {x_1} {\sqrt { {x_1}^2 +...+{x_n}^2 }},...,\frac {x_n} {\sqrt { {x_n}^2 +...+{x_n}^2 }}) $

чуму равно значение выражения $f'(|\vec{x}|)$ ?

Заранее благодарен.

[ewert]

geniy88 в сообщении #611457 писал(а):

$D_{x} f(|\vec{x}|)=f'(|\vec{x}|) \frac{\vec{x}}{|\vec{x}|}$

Есть общее правило дифференцирования сложной функции независимо от размерностей: $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$. В Вашем случае $g(x)=|x|$ -- это скалярная функция векторного аргумента $x$, и её производная (под которой в данном случае, в соответствии с размерностями на входе и выходе, понимается градиент) в точности и равняется второму сомножителю $\dfrac x{|x|}$, это элементарно получается тупым дифференцированием.

[geniy88]

получается у меня нету ошибки?
а $ f'(|\vec{x}|)$$ = {(\frac {\partial {f}} {\partial {x_1}},...,\frac {\partial {f}} {\partial {x_n}})}^{tr} $?

[ewert]

geniy88 в сообщении #611485 писал(а):

получается у меня нету ошибки?

Есть, конечно. Я тогда не стал дальше смотреть, но вот сейчас глянул, и увидел бред:

geniy88 в сообщении #611457 писал(а):

$D_{x} f(|\vec{x}|)=(\frac {\partial {f}} {\partial {x_1}} \frac {x_1} {\sqrt { {x_1}^2 +...+{x_n}^2 } },...,\frac {\partial {f}} {\partial {x_n}} \frac {x_n} {\sqrt { {x_1}^2 +...+{x_n}^2 } })$

Бред потому, что первые сомножители (независимо от того, что под ними понимается) могут относиться лишь к производным функции $f$ по своим непосредственным аргументам. А эта функция-то как раз непосредственно от координат и не зависит. Зависит лишь через модуль, от которого она действительно зависит непосредственно, и производная по которому как первый сомножитель и впрямь совершенно логично стоит первым сомножителем в выражении, которое Вы пытаетесь доказать.

[svv]

Пусть $r=|\vec{x}|=\sqrt { {x_1}^2 +...+{x_n}^2 }$

geniy88 в сообщении #611457 писал(а):

нужно доказать, что
$D_{x} f(|\vec{x}|)=f'(|\vec{x}|) \frac{\vec{x}}{|\vec{x}|}$

Это значит, что нужно доказать
$\frac{\partial}{\partial x_i}f(r)=\frac{df(r)}{dr}\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{df(r)}{dr}\frac{x_i}{r}\, ,\quad i=1..n$
Собственно, это и есть доказательство. Первое равенство — по формуле производной сложной функции.

[geniy88]

Всем спасибо за ответы!