Найти все пары положительных целых

[xmaister]

Найти все пары $(m,n,)$ натуральных чисел, таких что $m+n$ и $mn+1$- степени двойки одновременно.

[EtCetera]

Неужели есть еще пары, кроме простейших $\left(1;2^{t}-1\right)$, $\left(2^{t}-1;1\right)$, $\left(2^{t}\pm 1;2^{t}\mp 1\right)$ (везде $t\in\mathbb{N}$)?

[xmaister]

EtCetera, не знаю, мне не удалось это доказать.

[nnosipov]

EtCetera в сообщении #611512 писал(а):

Неужели есть еще пары, кроме простейших $\left(1;2^{t}-1\right)$, $\left(2^{t}-1;1\right)$, $\left(2^{t}\pm 1;2^{t}\mp 1\right)$ (везде $t\in\mathbb{N}$)?

Нет таких, доказательство несложное. Задача вполне годится для ЕГЭ и, скорее всего, хорошо известна.

[Sonic86]

Блин, действительно легкая задача:
$m+n=2^a, mn+1=2^b$
$a<b \Leftarrow m+n<mn+1\Leftrightarrow (m-1)(n-1)>0$. Случаи $m=1 \vee n=1$ разбираем отдельно.
$m,n$ - корни уравнения $t^2-2^at+(2^b-1)=0$, т.к. $a<b$, то $t^2\equiv 1\pmod {2^a}$, т.е. либо $2^{a-1}\mid t-1$, либо $2^{a-1}\mid t+1$. Считаем, $m\leqslant n$, тогда $m\leqslant 2^{a-1}$. Сопоставляя это с предыдущим, получаем $2^{a-1}=m-1$, отсюда получаем $n$ и все.

Правильно?

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #611648 писал(а):

Правильно?

Конечно, да, ровно это доказательство я и имел в виду. Даже обозначения совпали.

[Sonic86]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #611659 писал(а):

Конечно, да, ровно это доказательство я и имел в виду. Даже обозначения совпали.

Теперь connect Вашим с сознанием можно разорвать