Как правильно называется группа?

[Leox]

Есть ли отдельное название у такой матричной группы

$$ G=\left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 &1 \end{pmatrix} \mid a,b \in \mathbb{C}, a \neq 0 \right\} \subset GL_2 $$

и каким известным группам она изоморфна?

[ИСН]

Группа линейных функций $ax+b$ с операцией композиции, нет?

[Leox]

ИСН в сообщении #610513 писал(а):

Группа линейных функций $ax+b$ с операцией композиции, нет?

Да, но меня интересует матричный взгляд. Возможно она сопряжена с какой-то хорошей матричной группой?

[lek]

Leox в сообщении #610510 писал(а):

Есть ли отдельное название у такой матричной группы

$$ G=\left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 &1 \end{pmatrix} \mid a,b \in \mathbb{C}, a \neq 0 \right\} \subset GL_2 $$

и каким известным группам она изоморфна?

Группа $G$ изоморфна расширению абелевой группы $\mathbb{C}$ посредством группы автоморфизмов $\mathbb{C}^{*}$, которая действует на $\mathbb{C}$ по правилу $x\to\alpha x$. Другими словами, $G$ изоморфна полупрямому произведению $G'=\mathbb{C}^{*}\mathbb{C}$. Операция умножения в такой группе определяется стандартным образом:

$$ \alpha x\cdot\beta y=\alpha\beta(\beta x+y),\qquad \alpha,\beta\in\mathbb{C}^{*},\quad x,y\in\mathbb{C}. $$

Изоморфизм $G\to G'$ задается следующей последовательностью отображений:

$$ \begin{pmatrix}a & b \\ 0 &1 \end{pmatrix}\to\left[\begin{pmatrix}a & b \\ 0 &1 \end{pmatrix}^{T}\right]^{-1}=\begin{pmatrix}a & 0 \\ b &1 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}\alpha & 0 \\ x &1 \end{pmatrix}\to\alpha x. $$

[Leox]

Спасибо

[Leox]

Очевидно ли что ето группа Ли или нужно ето доказывать?

[lek]

Leox в сообщении #610510 писал(а):

Есть ли отдельное название у такой матричной группы $G=\left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 &1 \end{pmatrix} \mid a,b \in \mathbb{C}, a \neq 0 \right\} $...?

Да, эту группу обычно обозначают символом $\text{Aff}\,\mathbb{C}^1$ и называют группой аффинных преобразований комплексной прямой $\mathbb{C}^1$. Это связано с тем, что ее связная компонента единицы является полупрямым произведением нормальной подгруппы, состоящей из трансляций прямой $\mathbb{C}^1$, и подгруппы гомотетий $x\to\alpha x$.

Leox в сообщении #610702 писал(а):

Очевидно ли что ето группа Ли ... ?

Да, группа $G=\text{Aff}\,\mathbb{C}^1$ является разрешимой группой Ли. Ее касательная алгебра Ли, обычно обозначаемая символом $\tau_2(\mathbb{C})$, является единственной с точностью до изоморфизма двумерной неабелевой алгеброй Ли. Она разрешима и имеет вид

$$ \tau_2(\mathbb{C})=\left\{ \begin{pmatrix} x & y \\ 0 &0 \end{pmatrix} \mid x,y \in \mathbb{C}\}. $$

[Leox]

Большое спасибо, именно ето я и хотел уточнить

[Munin]

Я наткнулся на обозначение $\mathrm{UT}(n)$ верхнетреугольных матриц. Так что, данная группа, получается, $\mathrm{UT}(2)/\mathrm{UT}(1)$?

[lek]

Munin в сообщении #611184 писал(а):

Я наткнулся на обозначение $\mathrm{UT}(n)$ верхнетреугольных матриц. Так что, данная группа, получается, $\mathrm{UT}(2)/\mathrm{UT}(1)$?

Да, это так. Только обозначения не стандартные. Тем не менее, если $UT(n)$ - множество всех $n\times n$ матриц с нулевым углом под главной диагональю и элементами из поля $\mathbb{C}$, то фактор-группа

$$ UT(2)/Z(UT(2))\simeq\text{Aff}\,\mathbb{C}^1,\qquad\text{где центр}\quad Z(UT(2))\simeq UT(1). $$

Это очевидно, но все же отмечу, что центр группы $UT(n)$ состоит из множества скалярных $n\times n$ матриц, отличных от нулевой.