Предел

[SpBTimes]

Доказать, что предел $\lim_{n \to \infty} (\int_E f^n(x)dx)^{1/n} = M$
где $E$ - измеримое по Жордану множеству, $f$ - неотрицательная непрерывная функция, $M = \sup{f}$ на $E$
По Штольцу получилось, что нужно вычислить предел отношения интегралов: $\lim \frac{\int f^{n}dx}{\int f^{n-1}dx}$, но что дальше? Я даже геометрически не очень понимаю, почему это так.
Пробовал делить на множества в окрестности супремума и остальной кусок, но не получилось выделить главную часть

[--mS--]

Наверное, следует вынести $M$ из-под интеграла, нет?

[ewert]

Вынос $M$ доказывает, что верхний предел не превосходит $M$; надо ещё доказать, что нижний предел не меньше $M$. В принципе, для этого достаточно по любому $\varepsilon$ выделить некоторую окрестность, в пределах которой функция не меньше $M-\varepsilon$ и оценить весь интеграл снизу интегралом по этой окрестности. Проблема лишь в одном: как доказать, что мера этой окрестности не равна нулю; но это уже какая-то ловля блох. Если формулировку усилить: рассматривать интеграл по Лебегу и функцию брать просто ограниченной и измеримой, то эта проблема снимается автоматически.

[SpBTimes]

Спасибо! Так и оценивал, но не знал, как обосновать то, что мера множества, где функция близка к $M$ не ноль. Думал, может можно как-то покрутить из других соображений, но видно это и есть тот путь.

[ewert]

Кстати, вариант утверждения с мерой Жордана и непрерывной функцией попросту неверен: достаточно в качестве множества рассмотреть, например, двумерную область, к которой присобачен одномерный хвостик. Т.е. просто измеримости по Жордану недостаточно, придётся добавить ещё какие-нибудь унылые оговорки.

[SpBTimes]

ewert

То есть как раз-таки без этой оговорки мера множества может оказаться нулевой, да?

[ewert]

SpBTimes в сообщении #611119 писал(а):

То есть как раз-таки без этой оговорки мера множества может оказаться нулевой, да?

В частности, да.

Для всего лишь измеримых функций проблема снимается, т.к. для них под максимумом следует понимать, естественно, "существенный максимум". А последний на множествах нулевой меры по определению равен нулю.

[SpBTimes]

ewert

Да, это ясно, спасибо!