диск на доске

[Oleg Zubelevich]

Шероховатая доска $AB$ колеблется вдоль горизонтальной оси $OX$ по закону $OA=a\sin\omega t$.
По доске может катиться без проскальзывания однородный диск массы $m$ и радиуса $r$.
В начальный момент времени скорость центра диска относительно доски равна нулю.
Будет ли диск оставаться на доске вечно, если доска достаточно длинная?

[dovlato]

Короче, движение катка финитно или нет.
Проще решать в системе доски. Получается линейное ДУ, в решении которого для угла поворота катка $\varphi(t)$ в общем случае присутствует слагаемое, линейно растущее со временем:

$$J\varphi(t)=...+\left(J\omega_0+mV_0\right) t$$

Откуда ясно, что болтанка будет продолжаться в ограниченной области, если начальные значения угловой и линейной скоростей обеспечивают обнуление выражения в скобках. В ходе решения становится ясно, что точно такой же вывод остаётся в силе при любом (даже случайном!) финитном движении доски.

[Oleg Zubelevich]

а не понятно, что стоит в скобках, там кстати с размерностью не фонтан, и вообще откуда такое уравнение и что за многоточие

[dovlato]

Пардон, забыл $r$ вставить: $mV_0r$. ДУ в системе, связанной с доской:

$$J\frac{d\omega}{dt}+mra(t)=0$$

Здесь $a(t)$ - ускорение доски в лаб. системе.
Вроде так.

[Oleg Zubelevich]

мнда, простых задач с интересными физическими эффектами не найдешь, сложные есть...
а потом у вас, физиков, развита способность угадывать ответ без решения ,разумеется, речь не об этой задаче

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #610976 писал(а):

у вас, физиков, развита способность угадывать ответ без решения ,

А как насчёт математиков?... Даже не выписывая никаких уравнений в явном виде -- очевидно, что задача описывается некоторым линейным дифференциальным уравнением с периодической правой частью, причём известно, что у соответствующего однородного уравнения есть неограниченное (линейное) решение. А у неоднородного -- заведомо есть периодическое; и чего ещё нужно?...

[dovlato]

У нас ещё развита и способность косячить в любой момент.. Это я о своём вчерашнем ДУ: там же слева должно быть ДВА слагаемых, а не одно. Приведу теперь правильный вывод. В системе доски на диск действует переменная сила (инерции) $f=-md^2x_0/dt^2$.
Здесь $x_0$ - заданное смещение доски в лаб. системе, $x$ - смещение центра диска в системе доски.
Кин. эн. диска в системе доски равна

$$E=\left(m+\frac{J}{r^2}\right)\frac{V^2}{2}$$

За малое время $dt$ изменение энергии равна работе силы $dE=fVdt$, откуда

$$dE=\left(m+\frac{J}{r^2}\right)VdV+mVdt\cdot d^2x_0/dt^2$$

Отсюда

$$\left(m+\frac{J}{r^2}\right)d^2x/dt^2+m\cdot d^2x_0/dt^2=0$$

Вот правильное ДУ. Дорешаю вечером. Но ясно, что качественный вывод будет тот же: всё определится вековым членом, содержащим $t$.
Убегаю к Юле в отд. кадров.. Вот там уже она мне будет рассказывать, что и где писать)).

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #611014 писал(а):

Даже не выписывая никаких уравнений в явном виде -- очевидно,

Вам тут тоже э-э-э недавно было очевидно, даже не выписывая. Пока я конкурс контрпримеров не открыл.
Кстати свою неправоту надо уметь признавать, а не бегать от вопросов post600647.html#p600647

ewert в сообщении #611014 писал(а):

что задача описывается некоторым линейным дифференциальным уравнением с периодической правой частью, причём известно, что у соответствующего однородного уравнения есть неограниченное (линейное) решение. А у неоднородного -- заведомо есть периодическое; и чего ещё нужно?...

странно, вроде ясно было сказано:

Oleg Zubelevich в сообщении #610976 писал(а):

разумеется, речь не об этой задаче

-- Пн авг 27, 2012 10:36:35 --

dovlato в сообщении #611019 писал(а):

За малое время $dt$ изменение энергии равна работе силы

это для меня слишком сложно ;

$L=\frac{m}{2}(-2\dot \psi ra\omega\cos\omega t+r^2\dot\psi^2)+\frac{J}{2}\dot\psi^2$
$J$ -- момент инерции диска относительно центра, $\psi$ -- угол поворота диска

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #611045 писал(а):

странно, вроде ясно было сказано:

Oleg Zubelevich в сообщении #610976 писал(а):

разумеется, речь не об этой задаче

Вот как раз этого сообщения я совершенно и не понял. Какие эти не эти и какие не эти эти?...

Вам что, ответ нужен? Разумеется, скатится, тут даже и считать явно ничего не нужно. В системе отсчёта доски начальные условия нулевые, поэтому зависимость координаты от времени даётся двойным интегралом с переменным верхним пределом от силы инерции. После первого интегрирования получается нечто пропорциональное приращению скорости доски. И поскольку сама по себе эта скорость периодична и в среднем по периоду равна нулю -- линейное слагаемое, возникающее при втором интегрировании, пропорционально начальной скорости доски. Т.е. не скатился бы шарик в том и только том случае, если бы в начальный момент доска покоилась.