УМФ, уравнение теплопроводности

[supercranberry]

Условие задачи следующее:
U_t = U_{xx} -2U + \sin(x/2) , 0<x<\pi,t>0 (*)
U(0,t) = U_x( \pi, t) = 0
U(x,0) = \sin({3x}/2)

Пытался решить методом Фурье.
Для этого сделал замену: U(x,t) = X(x) T(t)

Далее рассмотрел X'' + \lambda X = 0
Получил спектр: k = (2n-1)/2 , X_n = \sin(x(2n-1)/2) ,n \varepsilon N

U(x,t) = \sum T_n(t) \sin(x(2n-1)/2) (**)

Подставил (**) в уравнение (*) и сгруппировал:
\sum T_n' \sin(x(2n-1)/2) = \sum T_n \sin (x (2n-1)/2 ) [-(2n-1)^2/4 -2] + \sin(x/2)

Далее попробовал рассмотреть 2 случая:
1) так как у нас присутствует sin(x/2) и из вида спектра можно сделать вывод, что случай n=1 - особенный и рассмотреть отдельно
2) для всех остальных n рассматриваем полученное уравнение без sin(x/2)

Из начального условие выходит, что есть только$ T_2 = 1$ . Первый же случай вообще для n=1.
Помогите пожалуйста разобраться.

[Munin]

Научитесь ставить знаки доллара вокруг формул. Писать просто [ math] недостаточно, а вот просто доллары - достаточно.

-- 26.08.2012 14:42:17 --

Значок "принадлежит" пишется \in, множество целых чисел при желании - \mathbb{N}.

[supercranberry]

Условие задачи следующее:
$\begin{cases} & \text U_t = U_{xx} -2U + \sin(x/2) , 0<x<\pi,t>0 \\ & \text U(0,t) = U_x( \pi, t) = 0 \\ & \text U(x,0) = \sin({3x}/2) \end{cases}$

Пытался решить методом Фурье.
Для этого сделал замену: $U(x,t) = X(x) T(t)$

Далее рассмотрел $X'' + \lambda X = 0$
Получил спектр: $k = (2n-1)/2$ , $X_n = \sin(x(2n-1)/2) ,n \in \mathbb{N}$

$U(x,t) = \sum T_n(t) \sin(x(2n-1)/2)$ (**)

Подставил (**) в уравнение и сгруппировал:
$\sum T_n' \sin(x(2n-1)/2) = \sum T_n \sin (x (2n-1)/2 ) [-(2n-1)^2/4 -2] + \sin(x/2)$

Далее попробовал рассмотреть 2 случая:
1) так как у нас присутствует $\sin(x/2)$ и из вида спектра можно сделать вывод, что случай $n=1$ - особенный и рассмотреть отдельно
2) для всех остальных n рассматриваем полученное уравнение без $\sin(x/2)$

Из начального условие выходит, что есть только $T_2 = 1$ . Первый же случай вообще для $n=1$.
Помогите пожалуйста разобраться.
(Исправил погрешности в оформлении).

[ewert]

supercranberry в сообщении #610688 писал(а):

Помогите пожалуйста разобраться.

В чём, собственно, следует помочь разбираться-то?... Пока что ясно лишь, что это:

supercranberry в сообщении #610688 писал(а):

Из начального условие выходит, что есть только $T_2 = 1$ .

-- неверно. А больше никаких даже и попыток определить коэффициенты не приведено.

[Munin]

(Оффтоп)

supercranberry в сообщении #610688 писал(а):

(Исправил погрешности в оформлении)

И непонятно зачем добавили \text :-) Их тоже не ставьте :-)

supercranberry в сообщении #610688 писал(а):

Далее рассмотрел $X'' + \lambda X = 0$
Получил спектр: $k = (2n-1)/2$ , $X_n = \sin(x(2n-1)/2) ,n \in \mathbb{N}$

По-моему, ещё здесь неверно.

[ewert]

Munin в сообщении #610701 писал(а):

По-моему, ещё здесь неверно.

Нет, ЗШЛ автор решать умеет (хотя и не вполне сознательно, но устойчиво). А вот дальше, насчёт временнЫх уравнений -- молчит, как партизан на допросе.

[Munin]

А. Буковку пропустил. Да, пардон. На том этаже всё верно.

[supercranberry]

Если рассмотреть вариант, что случай $n =1$ - особенный, то получится 2 системы.
1) система для $n \ne 1$
$\begin{cases} & T_n' = T_n (- (2n-1)^2/4 - 2) \\ & U(x,0) = \sin( {3x} /2) \end{cases}$

$\alpha = ( (2n-1)^2/4 + 2)$
$T =C_1 e^{- \alpha t}$

Из начального условия получается, что $T_2(0) = 1$
Тогда:
$T_2 =C_1 e^{- {17t}/ 14}$
$T_2(0) =C_1 = 1 $
$T_2 = e^{- {17t}/ 14}$

2) система для $n=1$
$\begin{cases} & T_1' =-{9T_1}/4 + 1 \\ & U(x,0) = \sin( {3x} /2) \end{cases}$

$T_1 = C_1 e^{-{9t}/4} + 4/9$
Из краевых условий делаем вывод, что $T_1(0) = 0$
$T_1(0) = C_1 + 4/9 = 0 $
$C_1 = - 4/9$
$T_1 = -4/9 e^{-{9t}/4} + 4/9 $

Ответ:
$U(x,t) = (-4/9 e^{-9t/4} + 4/9) \sin(x/2) + e^{-17t/4} \sin(3x/2)$

Похоже?

[ewert]

Да. Только для приличия следует и другие $n$ описать, и вообще записывать решение надо аккуратно. Например:

supercranberry в сообщении #610776 писал(а):

система для $n \ne 1$
$\begin{cases} & T_n' = T_n (- (2n-1)^2/4 - 2) \\ & U(x,0) = \sin( {3x} /2) \end{cases}$

Это никуда не годится. Какое формально отношение имеет третья строчка к первым двум?...