Задачка Студенческая олимпиада МФТИ, 18 марта 2007г

[Хет Зиф]

Вдоль оси витка радиуса $R$ с током $I$, изготовленного из провода круглого сечения с радиусом $r<<R$, проходит бесконечно тонкий прямой провод с током $J$. Найти условие, при котором силовая линия магнитного поля, проходящая через какую либо точку на тороидальной поверхности витка, окажется замкнутой. Как выглядит соответствующая линия, если требуемое условие не выполнено ?. (Е.З. Мейлихов)

[Developer]

Интересно!
Имеем два магнитных поля,
- одно от бесконечного тонкого провода с плотностью тока $\vec{J}$, силовые линии которого замкнуты и располагаются, например, проходя по поверхности замкнутого контура с радиусами $R-r,..., R,..., R+r$;
- второе от кругового витка с током $I$, силовые линии которого тоже замкнуты и тоже могут проходить, например по поверхности замкнутого контура с радиусом $r$.
Если бы Хет Зиф ещё и разъяснил, чего же хочет узнать Е.З. Мейлихов от студентов второго курса?

[Хет Зиф]

Developer
Во первых задача предназначена для всех курсов. А во вторых Е.З. Мейлихов по видимому хочет узнать условие, при котором силовая линия магнитного поля, проходящая через какую либо точку на тороидальной поверхности витка, окажется замкнутой.

Добавлено спустя 3 минуты 3 секунды:

Честно говоря Е.З. Мейлихов это мой семинарист, и пользуясь случаем я вскоре узнаю ответ на эту задачу, и что же он конкретно хотел. Пока что у меня есть собственнное решение этой задачи. В уверености которого я сомневаюсь по той причине, что задачи Мейлихова, весьма обманчивы.

[Developer]

Ну, давайте решать (в какой системе единиц я это сделаю, определите сами)...
1) В случае бесконечного прямого провода с током $\vec J$

индукция магнитного поля $d\vec B$ от элемента тока $d\vec l$ в любой точке на расстоянии R от элемента с током и на расстоянии $d$ от центра провода (см. рис.) будет следующей $dB={\frac {\mu_0} {4\pi}}{\frac{J{dl}Rsinb}{R^3}}$.
Перейдя к углу $a$ и интегрируя по нему от $-\frac \pi 2 {\text{ до }} +\frac \pi 2$, получим для индукции магнитного поля в точке на расстоянии $d$ от бесконечного тока примерно такой результат
$B={\frac {\mu_0} {4\pi}}{\frac J d}\int_{-\pi{\text{/2}}}^{+\pi{\text{/2}}}{cosa da}={\frac {\mu_0} {2\pi}}{\frac J d}$

Теперь посмотрим, что будет, если к точке наблюдения магнитного поля от бесконечного тока "прислонить" сечение провода кругового тока, подумав, а не будет ли экранирования магнитного поля бесконечного тока в каких либо точках на тороидальной поверхности витка с круговым током...

Теперь Ваше слово, Хет Зиф...

[Хет Зиф]

Developer
Первые ваши подсчеты, быстро следуют из теоремы о циркуляции магнитного поля..
Не совсем понял ,слова: экранирование магнитного поля бесконечного тока ?
Ну если я правильно все же вас понял, вернее понял, что вы хотели сказать, то я думаю экранирования там не будет.
А еще скажу что для вектора $B$, верен принцип суперпозиции

[Developer]

Хорошо, пойдём другим путём...
Признак солеиноидальности поля (то есть замкнутости силовых линий поля, в данном случае, магнитных силовых линий) следует из одного из уравнений Максвелла, в котором расходимость поля равна нулю (Вы его знаете, да и остальные уравнения тоже).
Тогда и надо попытаться отыскать такие условия, при которых суммарное магнитное поле (Вы его определили по принципу суперпозиции от бесконечного тока и кругового тока) на поверхности тороида имеет нулевую расходимость...
Что теперь скажете?

[Andrews]

Силовые линии магнитного поля (во всяком случае, создаваемого электрическим током) всегда замкнуты. Иначе, пришлось бы допустить существование магнитных зарядов.

[Хет Зиф]

Developer
Во первых: соленоидальность это не означает замкнутость силовых линий!Поле заряда соленоидально в области где этого заряда нет, а линии ни как не замкнуты , и замкнутыми быть не могут!
Во вторых. $divB=0$ - всегда. Ибо монополи(магнитные заряды) еще не нашли!!!
Так что пытайтесь решить по другому, а я завтра точно узнаю правильно решение.

[Александр Т.]

Хет Зиф писал(а):

Вдоль оси витка радиуса $R$ с током $I$, изготовленного из провода круглого сечения с радиусом $r<<R$, проходит бесконечно тонкий прямой провод с током $J$. Найти условие, при котором силовая линия магнитного поля, проходящая через какую либо точку на тороидальной поверхности витка, окажется замкнутой. Как выглядит соответствующая линия, если требуемое условие не выполнено ?. (Е.З. Мейлихов)

Вообще-то силовая линия магнитного поля не лежит на поверхности витка, если эта поверхность представляет собой поверхность кругового тора. Силовая линия может только ее касаться. Поэтому для силовых линий, касающихся разных точек окружности, которая представляет собой сечение кругового тора, условия замкнутости будут различны.

Условие $r<<R$, надо полагать, поставлено как раз для того, чтобы эту неоднозначность устранить, и полагать, что силовая линия, проходящая через какую-либо точку поверхности витка, принадлежит этой поверхности. Тогда можно считать, что нормальная к поверхности витка (который представляет собой круговой тор) составляющая вектор напряженности магнитного поля равна нулю, а его касательные составляющие, одна из которых лежит с осью симметрии тора в одной плоскости, а другая - перпендикулярна этой плоскости, равны соответственно $2I/r$ и $2J/R$. Силовая линия будет наматываться на поверхность витка с шагом вдоль центральной окружности витка (окружности, состоящей из центров оружностей, представляющих собой сечения тора, и длиной $2\pi R$), равным $\frac{J}{I}\frac{2\pi r^2}{R}$ (в гауссовой системе единиц). Наматываясь на тор (виток провода) с этим шагом силовая линия рано или поздно попадет в точку, с которой была начата эта намотка (начата не линией конечно, а интересующимся этой линией субъектом) в том и только том случае, когда отношение $\frac{J}{I}\frac{r^2}{R^2}$ будет равно некоторому рациональному числу (причем, уже не только в гауссовой системе единиц, но и в СИ). Это и есть, по-моему, условие замкнутости силовой линии магнитного поля на поверхности витка, которое хочет узнать Е.З.Мейлихов. Если же это отношение будет иррациональным, то силовая линия будет наматываться на тор бесконечно. В этом случае всю поверхность тора можно (при, пожалуй, несколько нестрогом подходе) представить себе состоящей из одной силовой линии бесконечной длины. Эта линия образует двумерных странный аттрактор для семейства решений соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3-го порядка) для силовых линий магнитного поля (хотя, наверное, аттрактором в строгом смысле этого слова это образование назвать нельзя). Такую силовую линию нельзя назвать замкнутой, и, в то же время, она нигде не начинается и нигде не заканчивается.

Семейство силовых линий магнитного поля этой задачи представляет собой бесконечное множество мощности континуум силовых линий, бесконечно намотанных на торах (но не с круговым сечением) и бесконечное счетное множество тороидальных поверхностей (опять же не с круговым сечением), состоящих из замкнутых силовых линий.

Тут есть такой пикантный момент. Дело в том, что раз условие замкнутости силовой линии - такое математически точное (рациональное отношение или иррациональное), то и выводить его приближенно, пользуясь условием $r<<R$, нельзя, поскольку любое приближение, сколь бы точно оно не выполнялось, в общем случае нарушит рациональность. Поэтому для строгого вывода этого условия нужно получить аналитическое выражение для семейства силовых линий, а эта задача, по-моему, неподъемна не только для студента, но и вообще для кого-либо. Насколько я могу судить, можно получить выражение для поля векторов напряженностей (по-моему, можно выразить через полные эллиптические интегралы), но решить систему дифференциальных уравнений для силовых линий аналитически - это нереально.

[Хет Зиф]

Александр Т.
В точку. Я тоже так решал. Насчет того что от нас требуется рациональность, а у нас приближение, это верно. Получается что тогда силовая линия пройдет в некоторой $e$ - окрестности начала другой. Действительно решить точно такие уравнения весьма сложно.

[Andrej-V]

До введения в центр круглой рамки бесконечного проводника ее линии В в виде тора. Выделим угловой сектор с началом в центре (т.е. разрежем тор двумя плоскостями пересекающимися по линии бесконечного проводника). Т.к. линии В замкнуты отношение В в (.) 1 и (.)2 будет равно отношению r2/r1. Линии же бесконечного проводника, направленные перпендикулярно линиям рамки, ~ 1/r (т.е. отношение r2/r1). Таким образом на поверхности тора этих линий угол между фитой составляющей и составляющей, направленной по линии пересечения плоскостей, одна из которых проходит через бесконечный проводник и данную точку, другая - касательная плоскость, - будет один и тот же. Остается вычислить значение В
от рамки интегрированием, например в точке на плоскости рамки с любой координатой r1<R(рамки), тоже самое при r2>R (т.к. провод рамки не в центре тора и тор м.б. не круговой в радиальном сечении) , найти такое r2, чтобы выполнялось "отношение В в (.) 1 и
(.)2 будет равно отношению r2/r1".

[Хет Зиф]

Andrej-V
Непойму зачем вы ее решаете, правильный ответ уже дал
Александр Т..

[Andrej-V]

Чего-то я ответа не найду.

Добавлено спустя 8 минут 33 секунды:

У меня последнее Ваше сообщение кончается словами:

Цитата:

В точку. Я тоже так решал. Насчет того что от нас требуется рациональность, а у нас приближение, это верно. Получается что тогда силовая линия пройдет в некоторой - окрестности начала другой. Действительно решить точно такие уравнения весьма сложно

Никакого решения нет. Может его удалили?

[Хет Зиф]

Andrej-V
Внимательночитайте мое сообщение

Цитата:

правильный ответ уже дал
Александр Т..