Доказать, что функция принимает любые значения на интервале

[Профессор Снэйп]

gris в сообщении #610202 писал(а):

Профессор Снэйп, не только к нулю, но и к $-\infty$. А так как множество точек разрыва внутри октанта обнаружили, то значит и любое отрицательное число получить можем по непрерывности.

Чёт я не понял этого рассуждения. Разверните свою мысль!

[gris]

Обратите внимание, что мы ищем решение только во внутренности первого октанта.
Пример заморозки: один, два.
Во внутренности первого октанта функция определена и непрерывна везде, кроме луча с равными координатами. Ой, Вы уже убрали Вашу плодотворную идею про заморозку? А она верна! Лишь бы замораживаемые значения не были равны.

[Профессор Снэйп]

gris в сообщении #610205 писал(а):

Обратите внимание, что мы ищем решение только во внутренности первого октанта.
Пример заморозки: один, два.

Не догоняю, о чём Вы.

-- Пт авг 24, 2012 22:13:32 --

Тут область определения, если что, вообще сложная. $a \neq 0$, $b \neq 0$, $c \neq 0$ и $a^3 + b^3 + c^3 \neq 3abc$. Первые три неравенства дают октанты, а четвёртое каждый октант пересекает и портит его безобразнейшим образом!!!

[gris]

Про заморозку я у Вас увидел
Просто я не решаюсь решение то приводить Но мне кажется, что вовсе не портит из-за неравенства между СА и СГ.
Мы только положительные значения рассматриваем.

[Профессор Снэйп]

gris в сообщении #610205 писал(а):

Во внутренности первого октанта функция определена и непрерывна везде, кроме луча с равными координатами.

Что значит "луч с равными координатами"?

Если имеется в виду луч вида $\{ (t,t,t) : t > 0 \}$, то это неверно. Например, не определено $f(1, 1, \sqrt{2})$.

-- Пт авг 24, 2012 22:27:51 --

gris в сообщении #610214 писал(а):

Про заморозку я у Вас увидел

Я не понимаю, что значит "заморозка"! Имеется в виду, что надо зафиксировать два аргумента и менять третий? Или что-то иное?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #610207 писал(а):

а четвёртое каждый октант пересекает и портит его безобразнейшим образом!!!

После где-то тут упомянутого деления получается выражение относительно трёх новых положительных переменных, связанных соотношением $xyz=1$, и это выражение имеет только одну особую точку: $x=y=z=1$.

[gris]

Да. Зафиксировать. А почему не определено? Определено.
После деления получаются разности между средними арифметическими и средними геометрическими. Да бог с ними. Просто подставьте что-то и посмотрите на функцию одного переменного.

[Профессор Снэйп]

gris в сообщении #610223 писал(а):

Да. Зафиксировать. А почему не определено? Определено.

Значит, я где-то ошибся...

[ewert]

Интересно, а с чего сочинителю задачки пришла в голову граница в виде именно минус единички?... Вроде же нигде она тут явно не выплывает.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #610221 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #610207 писал(а):

а четвёртое каждый октант пересекает и портит его безобразнейшим образом!!!

После где-то тут упомянутого деления получается выражение относительно трёх новых положительных переменных, связанных соотношением $xyz=1$, и это выражение имеет только одну особую точку: $x=y=z=1$.

Да, это, наверное, самое изящное.

При $a,b,c > 0$ имеем $3abc \leqslant a^3 + b^3 + c^3$, причём равенство достигается лишь при $a = b = c$. Рассматриваем поверхность $abc = 1$. Она линейно связна и наряду с каждой точкой $(a,b,c)$ содержит точку $(ab, bc, ca)$. Отсюда и в силу равенства $f(a,b,c) \cdot f(ab,bc,ca) = 1$ достаточно доказать, что $f$ принимает на этой поверхности сколь угодно большие по модулю значения. Ну а это сразу видно из рассмотрение больших $a = b$ и $c = 1/ab$.

Н-да... Вот почему мне нравятся дискретные вещи!

[Clever_Unior]

Отрываясь от вникания во все, что тут написано ( ), отвечу: вообще это подзадача другой задачи:
$\sqrt{p+1}\cdot p\cdot( pabc(3abc-a^3-b^3-c^3)- (a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3-3a^2b^2c^2) ) \geqslant 0$.
Нужно найти все $p$, для которых это выполняется. Я рассмотрел отдельно случаи $p>0$( не подходит ), $p=0$. Остался случай $p<0$, а, чтобы доказать его, считаю, что нужно доказать поддазачу этой темы
Конечно, наверняка, основная задача решается намного легче, но все же мне было интерестно как решается именно эта подзадача :)

[ewert]

Мне кажется (хотя я могу и ошибаться, конечно), что gris имел в виду нечто другое. После деления числителя и знаменателя на $a^2b^2c^2$ получается выражение вида $\dfrac{\frac1x+\frac1y+\frac1z-3}{3-x-y-z}$, где $x=\frac{a^2}{bc}$ и остальное симметрично; при этом $xyz=1$, других же ограничений на новые переменные нет. Далее неравенство "СА-СГ", и далее по тексту.

-- Пт авг 24, 2012 21:21:10 --

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #610234 писал(а):

Н-да... Вот почему мне нравятся дискретные вещи!

Ну а как я-то дискретку нэнавижу -- даже кюшать не могу!

[svv]

$f(a, 1, 1)=-\dfrac{2a^3-3a^2+1} {a(a^3-3a+2)}$
Числитель и знаменатель страшно легко раскладываются на множители, и получается
$-\dfrac{(a-1)^2 (2a+1)} {a(a-1)^2(a+2)}=-\dfrac{2a+1} {a (a+2)}$
Это непрерывно на $(0, +\infty)$, стремится к $-\infty$ при $a\to+0$ и стремится к $0$ при $a\to+\infty$.

[ewert]

Допустим, но знакоопределённость тоже следует обосновать. И недостижимость нуля тоже, кстати; отдельными линиями тут не отделаешься.

[svv]

ewert, не понимаю, зачем. Надо доказать, что функция $f(a,b,c)$ принимает любые значения из $(-1, 0)$. Я полагаю $b=c=1$ и доказываю, что даже при этом ограничении функция принимает любые значения на $a\in(0,\infty)$. "Другие линии" не могут сузить множество значений.
Пусть новая функция одной переменной не является знакоопределенной, пусть $0$ достигается, какая разница? Важно только то, что

svv писал(а):

Это непрерывно на $(0, +\infty)$, стремится к $-\infty$ при $a\to+0$ и стремится к $0$ при $a\to+\infty$.