стержень на гиперболе

[Munin]

Можно развлечься с другими кривыми. Половить случаи, когда у конфигурационного многобразия появляются острия, возникают/исчезают точки перегиба при разных параметрах кривой. Можно обобщить на трёхмерный случай: пусть концы стержня скользят по заданной поверхности - конфигурационное многообразие резко становится трёхмерным.

[MajorUrsus]

Munin в сообщении #608222 писал(а):

Можно развлечься с другими кривыми...

Давеча подумал о том, что гипербола в каком-то смысле есть вывернутый наизнанку эллипс.
Для стержня скользящего концами по эллипсу имеются интересные особенности.
Например, если эллипс вытянут вертикально, то для достаточно длинного стержня есть только наклонные положения равновесия.
Или, другой пример. Пусть эллипс
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
сильно вытянут горизонтально:
$a=100b$, и по нему скользит стержень длиной $2l$, причем $l=0,9b$.
В начальный момент стержень находится в верхней мертвой точке, потом начинает скользить вправо. Достигнув своим правым концом правой вершины эллипса стержень "отразится" и начнет двигаться влево, при этом правый конец эллипса будет двигаться по нижней части эллипса, а левый - по верхней. Но пройти весь эллипс стержню не удастся, так как $l<b$. Следовательно, должно произойти отражение стержня от центральной "толстой" части эллипса. Но представить себе это отражение без потери энергии я не могу. В момент отражения центр стержня должен покоиться, следовательно вся энергия должна перейти во вращение. Но как может вращаться стержень натянутый на эллипс? В то же время проблем с прохождением эллипса стержнем длиной, например, $l=0,000000001b$ не видно. Следовательно, есть граничная длина: стержень короче проходит эллипс, длиннее - застревает.
Воодушевленный этими примерами я вновь вернулся к гиперболе. Но, увы, ничего похожего не обнаружил. На мой взгляд, при любых $a,b,l(l>a)$ движение стержня как описано в предыдущих сообщениях: центр движется по "восьмерке", положений равновесия кроме верхнего и нижнего горизонтального нет, при движении стержень покачивается по-против часовой стрелки в пределах наибольшего угла.

[ИСН]

MajorUrsus в сообщении #609202 писал(а):

Но как может вращаться стержень натянутый на эллипс?

В.И.Чапаев писал(а):

...а я не то что изобразить - представить себе этого не могу!

[MajorUrsus]

Интуиция меня все же подвела

Стержень проходит эллипс без проблем при любых соотношениях размеров.
Центр стержня движется по выпуклому овалу при $0<l\le \frac{b^2}a$,
по овалу с "ямочками" по бокам при $\frac{b^2}a<l<b$,
по "восьмерке" при $b\le l<a$.

Отражение от тонкой части эллипса впечатляет.