Доказать, что функция принимает любые значения на интервале

[Clever_Unior]

Всем добрый день. Прошу помочь решить следующую, скорее всего очень легкую, задачу:

Доказать, что $f( a, b, c ) = \frac{a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3-3a^2b^2c^2} {abc(3abc-a^3-b^3-c^3)}$ принимает любые значения на интервале $(-1;0)$ ( или доказать обратное ). $a, b, c > 0$.

Например, можно доказать, что $f( a, b, c )$ всегда меньше нуля, а что делать дальше не знаю.

[Профессор Снэйп]

Ну, тут ведь функция то непрерывна на всей области определения. Выделите компоненты связности области определения и покажите, что на одной из компонент функция принимает сколь угодно близкие к $0$ и сколь угодно близкие к $-1$ значения.

[Clever_Unior]

Простите, но я не знаком с понятием "компоненты связности области определения" Может есть какое-то иное название, о котором можно почитать в каких-либо источниках ? Википедия молчит

[Профессор Снэйп]

Clever_Unior в сообщении #610140 писал(а):

Простите, но я не знаком с понятием "компоненты связности области определения"

Максимальное по включению связное подмножество области определения!

На самом деле Вам эти компоненты и не надо находить. Достаточно их частей с нужными свойствами. Другими словами, для каждого $\varepsilon > 0$ Вам надо найти зависящие от $\varepsilon$ числа $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ такие, что $f(a_1, b_1, c_1) < -1 + \varepsilon$, $f(a_2, b_2, c_2) > -\varepsilon$ и из точки $(a_1, b_1, c_1)$ в точку $(a_2, b_2, c_2)$ можно провести линию, которая пройдёт целиком внутри области определения $f$.

[gris]

Если сократить на $(abc)^2$, что, мне кажется, и сделал Clever_Unior, то легко увидим, что функция действительно строго отрицательна в первом октанте и определена и непрерывна в нём, за исключением координатных плоскостей и луча с равными координатами.
Осталось найти две точки или кривые, уходящие в бесконечность, с подходящими пределами

Один такой луч достаточно очевиден.

А точку, в которой значение функции меньше даже -4 можно подобрать.

Только тогда получается, что функция может принимать значения $-1$ и меньше?

[Профессор Снэйп]

Мне всё же кажется, что тут хорошую параметрическую кривую в $\mathbb{R}^3$ надо подобрать и получить функцию от одного аргумента.

-- Пт авг 24, 2012 21:02:14 --

Кстати, тут довольно интересное равенство выполняется: $f(a,b,c) \cdot f(ab, bc, ca) = 1$. В смысле что если определён и не равен нулю первый множитель, то определён и второй, и их произведение равно $1$.

[gris]

А я нашёл такой луч.

[Профессор Снэйп]

gris в сообщении #610168 писал(а):

А я нашёл такой луч.

Я, кажется, сейчас тоже найду. Подождите, не говорите!

[gris]

Кстати, его, в общем-то, сразу было видно, только я засомневался, что там действительно какие-то сложные эти самые компоненты связности.

[Профессор Снэйп]

Ага, вот. При $t \neq 0,1$ имеем

$$ f(1,t,t) = - t \cdot \frac{t^2 + t -1}{2t^2 - 1} $$

Если $t$ меняется от $(\sqrt{5} - 1)/2$ до $1/\sqrt{2}$, то $f(1,t,t)$ меняется от $0$ до $-\infty$.

[gris]

Каждая переменная имеет вверху третью максимальную степень, а внизу четвёртую.

[Профессор Снэйп]

gris в сообщении #610197 писал(а):

Каждая переменная имеет вверху третью максимальную степень, а внизу четвёртую.

Это показывает, что мы к $0$ сколь угодно близко подойдём. А к $-1$?

[Clever_Unior]

Профессор Снэйп в сообщении #610148 писал(а):

Clever_Unior в сообщении #610140 писал(а):

Простите, но я не знаком с понятием "компоненты связности области определения"

Максимальное по включению связное подмножество области определения!

На самом деле Вам эти компоненты и не надо находить. Достаточно их частей с нужными свойствами. Другими словами, для каждого $\varepsilon > 0$ Вам надо найти зависящие от $\varepsilon$ числа $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ такие, что $f(a_1, b_1, c_1) < -1 + \varepsilon$, $f(a_2, b_2, c_2) > -\varepsilon$ и из точки $(a_1, b_1, c_1)$ в точку $(a_2, b_2, c_2)$ можно провести линию, которая пройдёт целиком внутри области определения $f$.

Я не очень понял, ведь область определения данной функции это $a > 0 , b > 0 , c > 0$. Тогда зачем это условие ? Разве оно не всегда выполняется ?

Цитата:

и из точки $(a_1, b_1, c_1)$ в точку $(a_2, b_2, c_2)$ можно провести линию, которая пройдёт целиком внутри области определения $f$.

[Профессор Снэйп]

Clever_Unior в сообщении #610199 писал(а):

Я не очень понял, ведь область определения данной функции это $a > 0 , b > 0 , c > 0$.

С чего это Вы взяли? Хотите сказать, что, к примеру, $f(-1,-1,-2)$ не определена? Почему?

-- Пт авг 24, 2012 22:01:37 --

Или, к примеру, разве определено значение $f(1,1,1)$?

[gris]

Профессор Снэйп, не только к нулю, но и к $-\infty$. А так как множество точек разрыва внутри октанта обнаружили, то значит и любое отрицательное число получить можем по непрерывности.