2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Доказать, что функция принимает любые значения на интервале
Сообщение24.08.2012, 16:24 
Всем добрый день. Прошу помочь решить следующую, скорее всего очень легкую, задачу:

Доказать, что $f( a, b, c ) = \frac{a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3-3a^2b^2c^2} {abc(3abc-a^3-b^3-c^3)}$ принимает любые значения на интервале $(-1;0)$ ( или доказать обратное ). $a, b, c > 0$.

Например, можно доказать, что $f( a, b, c )$ всегда меньше нуля, а что делать дальше не знаю.

 
 
 
 Re: Доказать, что функция принимает любые значения на интервале
Сообщение24.08.2012, 16:49 
Аватара пользователя
Ну, тут ведь функция то непрерывна на всей области определения. Выделите компоненты связности области определения и покажите, что на одной из компонент функция принимает сколь угодно близкие к $0$ и сколь угодно близкие к $-1$ значения.

 
 
 
 Re: Доказать, что функция принимает любые значения на интервале
Сообщение24.08.2012, 17:15 
Простите, но я не знаком с понятием "компоненты связности области определения" :shock: Может есть какое-то иное название, о котором можно почитать в каких-либо источниках ? Википедия молчит :?

 
 
 
 Re: Доказать, что функция принимает любые значения на интервале
Сообщение24.08.2012, 17:30 
Аватара пользователя
Clever_Unior в сообщении #610140 писал(а):
Простите, но я не знаком с понятием "компоненты связности области определения"

Максимальное по включению связное подмножество области определения!

На самом деле Вам эти компоненты и не надо находить. Достаточно их частей с нужными свойствами. Другими словами, для каждого $\varepsilon > 0$ Вам надо найти зависящие от $\varepsilon$ числа $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ такие, что $f(a_1, b_1, c_1) < -1 + \varepsilon$, $f(a_2, b_2, c_2) > -\varepsilon$ и из точки $(a_1, b_1, c_1)$ в точку $(a_2, b_2, c_2)$ можно провести линию, которая пройдёт целиком внутри области определения $f$.

 
 
 
 Re: Доказать, что функция принимает любые значения на интервале
Сообщение24.08.2012, 17:42 
Аватара пользователя
Если сократить на $(abc)^2$, что, мне кажется, и сделал Clever_Unior, то легко увидим, что функция действительно строго отрицательна в первом октанте и определена и непрерывна в нём, за исключением координатных плоскостей и луча с равными координатами.
Осталось найти две точки или кривые, уходящие в бесконечность, с подходящими пределами :-)

Один такой луч достаточно очевиден.

А точку, в которой значение функции меньше даже -4 можно подобрать.

Только тогда получается, что функция может принимать значения $-1$ и меньше?

 
 
 
 Re: Доказать, что функция принимает любые значения на интервале
Сообщение24.08.2012, 17:52 
Аватара пользователя
Мне всё же кажется, что тут хорошую параметрическую кривую в $\mathbb{R}^3$ надо подобрать и получить функцию от одного аргумента.

-- Пт авг 24, 2012 21:02:14 --

Кстати, тут довольно интересное равенство выполняется: $f(a,b,c) \cdot f(ab, bc, ca) = 1$. В смысле что если определён и не равен нулю первый множитель, то определён и второй, и их произведение равно $1$.

 
 
 
 Re: Доказать, что функция принимает любые значения на интервале
Сообщение24.08.2012, 18:06 
Аватара пользователя
А я нашёл такой луч.

 
 
 
 Re: Доказать, что функция принимает любые значения на интервале
Сообщение24.08.2012, 18:20 
Аватара пользователя
gris в сообщении #610168 писал(а):
А я нашёл такой луч.

Я, кажется, сейчас тоже найду. Подождите, не говорите!

 
 
 
 Re: Доказать, что функция принимает любые значения на интервале
Сообщение24.08.2012, 18:34 
Аватара пользователя
Кстати, его, в общем-то, сразу было видно, только я засомневался, что там действительно какие-то сложные эти самые компоненты связности.

 
 
 
 Re: Доказать, что функция принимает любые значения на интервале
Сообщение24.08.2012, 18:50 
Аватара пользователя
Ага, вот. При $t \neq 0,1$ имеем
$$
f(1,t,t) = - t \cdot \frac{t^2 + t -1}{2t^2 - 1}
$$
Если $t$ меняется от $(\sqrt{5} - 1)/2$ до $1/\sqrt{2}$, то $f(1,t,t)$ меняется от $0$ до $-\infty$.

 
 
 
 Re: Доказать, что функция принимает любые значения на интервале
Сообщение24.08.2012, 18:54 
Аватара пользователя
Каждая переменная имеет вверху третью максимальную степень, а внизу четвёртую.

 
 
 
 Re: Доказать, что функция принимает любые значения на интервале
Сообщение24.08.2012, 18:58 
Аватара пользователя
gris в сообщении #610197 писал(а):
Каждая переменная имеет вверху третью максимальную степень, а внизу четвёртую.

Это показывает, что мы к $0$ сколь угодно близко подойдём. А к $-1$?

 
 
 
 Re: Доказать, что функция принимает любые значения на интервале
Сообщение24.08.2012, 18:58 
Профессор Снэйп в сообщении #610148 писал(а):
Clever_Unior в сообщении #610140 писал(а):
Простите, но я не знаком с понятием "компоненты связности области определения"

Максимальное по включению связное подмножество области определения!

На самом деле Вам эти компоненты и не надо находить. Достаточно их частей с нужными свойствами. Другими словами, для каждого $\varepsilon > 0$ Вам надо найти зависящие от $\varepsilon$ числа $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ такие, что $f(a_1, b_1, c_1) < -1 + \varepsilon$, $f(a_2, b_2, c_2) > -\varepsilon$ и из точки $(a_1, b_1, c_1)$ в точку $(a_2, b_2, c_2)$ можно провести линию, которая пройдёт целиком внутри области определения $f$.

Я не очень понял, ведь область определения данной функции это $a > 0 , b > 0 , c > 0$. Тогда зачем это условие ? Разве оно не всегда выполняется ?
Цитата:
и из точки $(a_1, b_1, c_1)$ в точку $(a_2, b_2, c_2)$ можно провести линию, которая пройдёт целиком внутри области определения $f$.

 
 
 
 Re: Доказать, что функция принимает любые значения на интервале
Сообщение24.08.2012, 19:00 
Аватара пользователя
Clever_Unior в сообщении #610199 писал(а):
Я не очень понял, ведь область определения данной функции это $a > 0 , b > 0 , c > 0$.

С чего это Вы взяли? Хотите сказать, что, к примеру, $f(-1,-1,-2)$ не определена? Почему?

-- Пт авг 24, 2012 22:01:37 --

Или, к примеру, разве определено значение $f(1,1,1)$?

 
 
 
 Re: Доказать, что функция принимает любые значения на интервале
Сообщение24.08.2012, 19:02 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп, не только к нулю, но и к $-\infty$. А так как множество точек разрыва внутри октанта обнаружили, то значит и любое отрицательное число получить можем по непрерывности.

 
 
 [ Сообщений: 41 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group