Сума цифр

[Trius]

Для каких натуральных $n$ сумма цифр числа $2^n$ равняется сумме цифр числа $5^n$?

[nuub]

сумма цифр в двоичном представлении? ))

[juna]

Видимо $n=3$ - единственное решение.
Хотя, количество разрядов $5^n$ - это $\lfloor n \cdot \log 5 \rfloor+1 $, для $2^n$ - это $\lfloor n \cdot \log 2 \rfloor+1 $ т.е. их отношение в пределе $\frac{\ln5}{\ln2}=2.3$ - ограничено.
Вообще, считают статистику первой цифры для $5^n$ и $2^n$: 1 - 30%, 2 - 17% и т.д. (определяется в какой интервал попадает дробная часть $n\log 5$ в логарифм от цифр).
В принципе вероятность для разных разрядов разная, но вряд ли она совсем разная для разных оснований $2,5$ в самом начале числа.

[незваный гость]

Очевидно, что $3 | n$. Но от этого до решения, как до Африки.

Рискуя навлечь на себя праведный гнев, вспомню еще одну такую задачу: для каких $n$ сумма цифр $2^n$ равна $n$?

[juna]

Да, можно провести сравнение по модулю 9, и тогда нужно искать одинаковую сумму цифр среди $8^n$ и $125^n$. Но как это помогает?

[незваный гость]

Никак. Так же не помогает, как и соображение о «средней» величине цифры. Я считал суммы цифр для задачи выше ($S_{digits}(2^n)=n$), и среднее было 4.5. Но от подсчета до доказательства далеко.

[maxal]

Я задам задачку попроще:
Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел $n$ таких, что (десятичная запись) $2^n$ оканчивается на $n$.

[RIP]

maxal писал(а):

Я задам задачку попроще:
Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел $n$ таких, что (десятичная запись) $2^n$ оканчивается на $n$.

Можно взять остаток от деления числа

$$\left.2^{2^{2^{...^2}}}\right\}\text{$k+2$ двойки}$$

на $10^k$ при $k\geqslant2$.

[neo66]

RIP писал(а):

Можно взять остаток от деления числа

$$\left.2^{2^{2^{...^2}}}\right\}\text{$k+2$ двойки}$$

на $10^k$ при $k\geqslant2$.

$k=2;$
$2^{2^{2^2}}=256;$
$256\equiv 56 mod(100);$
$2^{56}=72057 594037 927936;$ не оканчивается на $56$.

[maxal]

neo66 писал(а):

$2^{2^{2^2}}=256;$

$$2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^{16}=65536$$

[RIP]

RIP писал(а):

maxal писал(а):

Я задам задачку попроще:
Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел $n$ таких, что (десятичная запись) $2^n$ оканчивается на $n$.

Можно взять остаток от деления числа

$$\left.2^{2^{2^{...^2}}}\right\}\text{$k+2$ двойки}$$

на $10^k$ при $k\geqslant2$.

Более того, если я нигде не наврал, так получаются все числа, удовлетворяющие условию.

[neo66]

Да, это я наврал . А, можно пояснить, почему это так?

[Батороев]

maxal писал(а):

Я задам задачку попроще:
Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел $n$ таких, что (десятичная запись) $2^n$ оканчивается на $n$.

По-моему, речь идет о числах, первым из которых является:
$ 2^{36} = 68719476736 $,
из которого берем $ 736 $
$ 2^{736} = ....8736 $
и т.д.
$ 2^{8736} = ...48736$
$ 2^{48736} = ...948736 $
..

[RIP]

Если эту башню из двоек обозвать через $a_k$, то по индукции проверяется, что $a_{k+1}=2^{a_k}\equiv a_k\pmod{5^k}$. Поэтому $2^{a_k}\equiv a_k\pmod{10^k}$ и это будет выполняться и для $n_k=a_k\mod10^k$ (только в этом месте существенно, что $k\geqslant2$).

Добавлено спустя 11 минут 36 секунд:

Никак не могу понять: может ли для какого-нибудь $k$ выполняться $n_{k+1}=n_k$?

[maxal]

RIP писал(а):

Никак не могу понять: может ли для какого-нибудь $k$ выполняться $n_{k+1}=n_k$?

Может. Например, для $k=14$ и $k=20.$
А для $k=30$ выполняется даже $n_{k+2} = n_{k+1}=n_k.$