Функциональное уравнение для начинающих их решать

[arseniiv]

Милое (но, к сожалению, несложное) уравнение, хочется им поделиться:

$h(x, y) + h(x + y, 0) = h(y, x) + g(x)$.

Найти обе.

-- Чт авг 23, 2012 20:56:43 --

А, ну да: функции непрерывные.

[xmaister]

А функции откуда куда?

[arseniiv]

А, и это забыл.

$h\colon [0, +\infty) \to [0, +\infty)$,
$g\colon \mathbb R \to \mathbb R$.

[Профессор Снэйп]

arseniiv в сообщении #609610 писал(а):

А, и это забыл.

$h\colon [0, +\infty) \to [0, +\infty)$,
$g\colon \mathbb R \to \mathbb R$.

Так $h$ вроде от двух аргументов.

[arseniiv]

Чего-то я переотдыхался. Оба аргумента в $[0; +\infty)$, а значение пусть будет в $\mathbb R$.

[Профессор Снэйп]

$g(x) = h(2x,0)$, можно вообще без $g$ переписать.

И непонятно как-то, почему в $h$ аргументы неотрицательны, а в $g$ допускается отрицательный аргумент. Всё равно в уравнении фигурирует $g(x)$ лишь для $x \geqslant 0$.

[arseniiv]

Тогда стоит её ограничить.

[Профессор Снэйп]

Ещё заметил, что $h(x,0) = h(0,x)$.

[arseniiv]

Если я сам решил правильно, этого быть не должно. У меня они различались, при этом подстановка ответа в уравнение была успешная.

[Профессор Снэйп]

arseniiv в сообщении #609662 писал(а):

Если я сам решил правильно, этого быть не должно. У меня они различались, при этом подстановка ответа в уравнение была успешная.

Значит, я не прав.

Извиняюсь, что без бумажки пытаюсь всё делать, чисто в уме. Ошибки при таком подходе неизбежны. Больше так не буду!

[arseniiv]

Незачем извиняться! Так ведь тоже полезно.

[Edward_Tur]

Для $h : \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$
$ h(x,y)=axy+bx+c$

[Профессор Снэйп]

Edward_Tur в сообщении #609770 писал(а):

Для $h : \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$

Так ведь в условии сказано, что $h$ непрерывна.

[arseniiv]

Ну, данная-то непрерывна. Хотя её ещё можно значительно обобщить.

-- Пт авг 24, 2012 03:09:00 --

У меня, например, получилось $h(x, y) = b(x, y) + cx - cy + d$, где для непрерывной $b$ выполняется $b(x, y) = b(y, x)$ и $b(x, 0) = cx$. Насколько понимаю, таких вагон и маленькая тележка. (Именно поэтому в поезде пришлось отложить уравнение и взяться за страшный интеграл. )