нормаль

[yason]

Помогите пожалуйста.
Как можно найти уравнение нормали к плоскости f(x,y,z) проходящей через точку x,y,z не лежащей на плоскости, т. е. найти кратчайшее растояние от точки x,y,z к плоскости f(x,y,z).
Заранее благодарю.

[4arodej]

Оно: http://www.google.com/search?client=ope ... 8&oe=utf-8 ?

[Someone]

yason писал(а):

Как можно найти уравнение нормали к плоскости f(x,y,z) проходящей через точку x,y,z не лежащей на плоскости, т. е. найти кратчайшее растояние от точки x,y,z к плоскости f(x,y,z).

Не понял, что такое "плоскость $f(x,y,z)$". Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$. Расстояние от точки $M^*(x^*,y^*,z^*)$ до плоскости равно $d=\frac{|Ax^*+By^*+Cz^*+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$. Наверное, эту формулу можно найти в учебнике по аналитической геометрии.

[yason]

Спасибо, а если поскость задана системой нелинейных уравнений.

[Someone]

yason писал(а):

Спасибо, а если поскость задана системой нелинейных уравнений.

Например?

Вообще, уравнение любой плоскости можно записать в виде $Ax+By+Cz+D=0$. Если, конечно, Вы случайно не называете "плоскостью" что-нибудь другое.

[bot]

Плоскости всегда задаются линейными уравнениями.

Кажется догадался, какой у Вас вопрос:

Есть поверхность $S$, заданная уравнением $f(x,y,z)=0$ и точка $(x_0,y_0,z_0)$, не лежащая на $S$, то есть $f(x_0,y_0,z_0)\ne 0$
Требуется найти наименьшее расстояние от точки $(x_0,y_0,z_0)$ до точек поверхности $S$.
Если это наименьшее расстояние существует, то его реализует такая точка $(x,y,z)$ на поверхности, в которой касательная плоскость перпендикулярна вектору, соединяющему точки $(x,y,z)$ и $(x_0,y_0,z_0)$ или, что то же самое, этот вектор должен быть коллинеарен нормали к поверхности (то есть нормали к касательной плоскости), длина этого вектора и даст искомое расстояние.
Теперь самое время вспомнить, что такое градиент и получить из коллинеарности дополнительные уравнения (одно уже есть - это $f(x,y,z)=0$) для нахождения этой точки $(x,y,z)$.

[yason]

Извините, я имел введу поверхность.
А на счет градиента -это вектор максимального роста функции df/dx,df/dy,df/dz и виходит из начала координат. И не всегда кратчайшее растояние совпадает с градиентом.

[bot]

yason писал(а):

Извините, я имел введу поверхность.

Значит верно догался.

Цитата:

А на счет градиента -это вектор максимального роста функции df/dx,df/dy,df/dz

Лучше сказать показывает направление максимального роста.

Цитата:

и виходит из начала координат.

Вектор - это вектор, он ниоткуда не выходит. Если угодно, его начало можно поместить в любую точку.

Цитата:

И не всегда кратчайшее растояние совпадает с градиентом.

Лучше сказать никогда. Кратчайшее расстояние - это число, а градиент это вектор.

Возвращаемся к градиенту: а ещё каков геометрический смысл градиента функции $f(x,y,z)$? Как пишется уравнение касательной плоскости к поверхности, если она задана в неявной форме?