Найти размерность пространства для заданных объектов

[longstreet]

Для каждого из объектов заданы степени принадлежности к остальным объектам. Нужно представить их все в пространстве таким образом, чтобы объекты с большими степенями принадлежности (друг к другу) находились рядышком, а малосвязанные (маленькая степень принадлежности друг к другу) объекты находились далеко.

Понятно, что такое представление легко сделать, если для каждого объекта вводить по измерению. Но нужно чтобы число измерений пространства (в котором такое представление будет найдено) было небольшим, пусть и будут погрешности.

Какие методы для этого есть?

-- 21.08.2012, 20:56 --

Пример. Даны объекты: $a, b, c, d$. Также заданы степени принадлежности: $(a,b)=1$; $(a,c)=\sqrt{2}$; $(a,d)=1$; $(b,c)=1$; $(b,d)=\sqrt{2}$; $(c,d)=1$.
Нужный ответ. Размерность пространства равна двум. Именно, объекты можно представить как находящиеся в вершинах квадрата с единичной стороной. (Причём это точное описание, без погрешностей.)

-- 21.08.2012, 21:14 --

Да, забыл добавить, что степень принадлежности трактуется как евклидово расстояние между объектами.

[longstreet]

Подходит ли для этой задачи метод Факторного Анализа? (прочитал, что он используется, в том числе, и для определения размерности данных)

[epros]

По-моему, это какая-то ерунда. Откуда такая задача? И что за странная терминология: "степень принадлежности"? Я такое слышал в теории нечётких множеств Л. Заде, но там принадлежность - несимметричное свойство. А у Вас, похоже, речь идёт о симметричной метрике. Не правильнее было бы говорить просто о расстоянии? И что значит "представить в пространстве"? Вы имеете в виду евклидово пространство заданной размерности? Тогда Ваш пример притянут за уши: в общем случае четыре точки с заданными расстояниями между ними на плоскость не уложить. Если же Вы допускаете возможность менять расстояния между точками, то Вам нужно определить какое-то правило: в какой степени "плохо" то или иное изменение, чтобы можно было говорить о выборе "наименее плохого" варианта.

[Cash]

Метод называется Multidimensional scaling. В учебнике Статсофт статистика можно прочитать основы Многомерное шкалирование. В пакете Statsoft Statistica, начиная, по-моему с 6.0, оно реализовано

[epros]

Или ТС хочет что-то типа регрессионного анализа? Например, имея 4 точки (со всеми расстояниями между ними) можно поставить задачу найти такую плоскость, чтобы минимизировать средний квадрат расстояний до неё (см. метод наименьших квадратов).

страничка про многомерное шкалирование писал(а):

Говоря более техническим языком, МНШ использует алгоритм минимизации некоторой функции, оценивающей качество получаемых вариантов отображения

Ага, вся суть в том, что именно мы собираемся минимизировать. Т.е. как ТС собирается определять эту самую "некоторую функцию" пока непонятно.

[longstreet]

epros в сообщении #608992 писал(а):

Откуда такая задача?

Идея задачи появилась вокруг сетей сайтов в интернете. Однако, недавно подумал, что эту же задачу приложить для ассоциативного словаря языка. Пусть для слова "стол", задано:

Цитата:

Стол:
Стул (0,6)
Письменный (0,3)
Деревянный (0,1)

В скобках указана нормированная частота ассоциирующихся слов. Пусть есть такой полный словарь. Связь между двумя словами не симметрична. Можно ли сколько-нибудь разумным способом расположить слова этого словаря в пространстве (многомерном) так, чтобы сильно-связанные слова находились рядом, а слабо-связанные тем дальше, чем слабее связь? Можно ли как-нибудь ввести такую функцию расстояния?

(Оффтоп)

Я слышал, что вроде как-то аналог расстояния вводят в таких случаях, но не знаю как это сделать.