Под точками плоскости "более общего положения" будем понимать следующее. Никакие три точки не лежат на одной прямой и если проводить всевозможные прямые через пары этих точек, то любые две из них пересекаются, но никакие три из них не пересекаются в точке, отличной от исходных.
Аналогично, в пространственном случае имеем следующее. Никакие 4 точки не лежат в одной плоскости и если проводить всевозможные плоскости через тройки этих точек, то любые три из них имеют общую точку, но никакие четыре не имеют общей точки, отличной от исходных.
Мне кажется, что для таких точек количество частей будет максимальным.
Это, конечно, верно. Но... малосодержательно.
Очевидно, что в пространстве может не более 4-х точек "более общего положения".
Цитата:
Наверное, более корректно было бы сформулировать задачу следующим образом.
Имеется 5 точек. Через каждые три из них проведена плоскость. На какое наибольшее (по всем пятёркам точек) количество частей эти плоскости могут разбить пространство?
Склоняюсь к мысли, что для пяти точек общего положения ответ все же единственный.
Аргументация такая:
Тройки плоскостей, определенных тройками исходных точек пересекаются всего 15 точках.
Во-первых, это 5 исходных точек. В каждой из них сходится 6 плоскостей.
Во-вторых, это 10 точек, каждая из которых представляет собой пересечение прямой, заданной парой исходных точек, и плоскости, заданной тремя остальными точками. В этих точках пересекается по 4 плоскости. (В случае, рассмотренном
ИСН, эти 10 точек суть середины ребер и центры граней исходного тетраэдра.)
Больше точек пересечения троек интересующих нас плоскостей просто нет.
Но в случае правильного тетраэдра с центром областей не может быть 106.
По-видимому при подсчете числа областей нужно учитывать не только особые точки, но и особое расположение линий пересечения плоскостей.
Каждая прямая, в которой пересекаются 3 плоскости уменьшает число областей на 2.
Тогда их должно получится
(вот и 86 получилось). Но я полагаю, что выпадения областей, обусловленные особыми точками и особыми прямыми, не являются независимыми. И правильный ответ все же 96.