Сходимость функционального ряда

[M_ike]

Если решение задачи мат.физики получено с помощью функций Грина в виде функционального ряда, то можно ли заранее что-то сказать о сходимости такого ряда?

При попытке доказательства сходимости, один такой ряд был разбит на сумму более простых рядов,
для половины которых своеобычно строился сходящийся мажорирующий ряд,
но как быть с рядами такого типа:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{n \cos\left[\frac{t \sqrt{-l^2+4 n^2 \pi ^2 a }}{2 l a }\right] \sin\left[\frac{n \pi x}{l}\right]}{n^2 \pi ^2+l^2 \beta ^2}$$

(переменные: $x, t$; положительные константы: $l, a$, \beta)
В моих глазах ничего не мешает ему взять и сойтись, потому что предел общего члена ряда при $n \to \infty$ имеется, более того ряд чем-то напоминает ряд Фурье двух переменных, но боюсь, я не знаю чем

Могут ли уважаемые форумчане поделиться со мной наводящими соображениями о том как доказать сходимость?

[_hum_]

M_ike в сообщении #608635 писал(а):

В моих глазах ничего не мешает ему взять и сойтись, потому что предел общего члена ряда при $n \to \infty$ имеется, более того ряд чем-то напоминает ряд Фурье двух переменных

Так а ряды Фурье тоже в большинстве случаев не сходятся в обычном смысле :)

А вообще, берете признаки сходимости числовых рядов и проверяете.

[M_ike]

_hum_
Если по Даламберу, то для вычисления предела выражения:

$$\frac{n \left((-1+n)^2 \pi ^2+l^2 \beta ^2\right) \cos\left[\frac{t \sqrt{-l^2+4 n^2 \pi ^2 a }}{2 l a }\right] \sin\left[\frac{n \pi x}{l}\right]}{(-1+n) \left(n^2 \pi ^2+l^2 \beta ^2\right)\sin\left[\frac{(-1+n) \pi x}{l}\right] \cos\left[\frac{t \sqrt{-l^2+4 (-1+n)^2 \pi ^2 a }}{2 l a }\right]}$$

при $n \to \infty$, нужно будет узнать, например, первый коэффициент при разложении всей этой прекрасной тригонометрии по $n$ в окрестности бесконечно удаленной точки, что, увы, невозможно.
В общем, как считать такие пределы я тоже не представляю.

[Someone]

Поколдовать с признаками Дирихле и Абеля.

[M_ike]

Someone
Для Абеля нужна монотонность и ограниченность одного множителя и сходимость другого.
Здесь немонотонные синусы/косинусы и гармонический ряд, который расходится. Увы.

Дирихле уже интересней!
Если последовательность частичных сумм ряда

$$\cos\left[\frac{t \sqrt{-l^2+4 n^2 \pi ^2 a}}{2 l a}\right]\sin\left[\frac{n \pi x}{l}\right]$$

ограничена (что вполне может быть), а последовательность

$$\frac{n}{n^2 \pi ^2+l^2 \beta ^2}$$

начиная с некоторого номера монотонно стремится к нулю (а ведь она стремится), то весь ряд сходится.
Будем думать.

[_hum_]

Угу. И попробовать воспользоваться Dirichlet_kernel.

[Someone]

Признак Абеля тоже может пригодиться, хотя он и сводится к признаку Дирихле. А может и обойдётесь. Заранее не видно.

$\sqrt{4n^2\pi^2a-l^2}=2n\pi\sqrt{a}\cdot\sqrt{1-\frac{l^2}{4n^2\pi^2a}}=2n\pi\sqrt{a}\left(1-\frac{l^2}{8n^2\pi^2a}+\frac{\alpha_n}{n^4}\right)$,
где $\alpha_n$ ограничена.

Далее пишем
$\cos\frac{t\sqrt{4n^2\pi^2a-l^2}}{2la}=\left(\cos\frac{t\sqrt{4n^2\pi^2a-l^2}}{2la}-\cos\frac{2tn\pi\sqrt{a}}{2la}\right)+\cos\frac{2tn\pi\sqrt{a}}{2la}$,
разбиваем ряд, по всякому преобразовываем, оцениваем, ...

[M_ike]

Тогда, используя (сугубо в меру своей испорченности) подсказки Someone и _hum_ докажем, что последовательность частичных сумм $S_n$ ограничена:

$$S_n=\sum\limits_{k=1}^{n} \cos\left[\frac{t \sqrt{4 k^2 \pi ^2 a-l^2 }}{2 l a }\right] \sin\left[\frac{k \pi x}{l}\right]=\sum\limits_{k=1}^{n} R_{k}$$

Так как для любого, пусть даже очень большого, но конечного числа $p$, ряд $\{S_n\}_{n=1}^{p}$ ограничен, то осталось разобраться с тем, что происходит с "хвостиком" у бесконечности: $\{S_n\}_{n=p}^{\infty}$

Рассмотрим один из членов последнего ряда:

$$S_{p+m}=\sum\limits_{k=1}^{p+m}R_k=\underbrace{\sum\limits_{k=1}^{p}R_k}_{\text{Сумма №1}}+\underbrace{\sum\limits_{k=p+1}^{p+m}R_k}_{\text{Сумма №2}}$$

Сумма №1 ограничена, хм , так как $p$ - конечная величина.
Чтобы доказать ограниченность суммы №2, нужно воспользоваться асимптотикой ($p$ достаточно большое, чтобы асимптотическое разложение было обосновано) для $R_k$ по $k$:

$$R_k \sim \cos\left[\frac{\pi t k}{\sqrt{a} l}\right] \sin\left[\frac{k \pi x}{l}\right] $$

Так как имеет место разложение:

$$\frac{t \sqrt{-l^2+4 k^2 \pi ^2 a}}{2 l a} \sim \frac{\pi t k}{\sqrt{a} l}+O\left[\frac{1}{k}\right]^1$$

Затем по формуле преобразования произведений получим:

$$\cos\left[\frac{\pi t k}{\sqrt{a} l}\right] \sin\left[\frac{k \pi x}{l}\right] = \frac{1}{2} \left(\sin \left[k \pi \left(\frac{t}{l\sqrt{a}}+\frac{x}{l}\right)\right]+\sin\left[k \pi \left(\frac{x}{l}-\frac{t}{l\sqrt{a}}\right)\right]\right)$$

Итого сумма №2 запишется в виде:

$$\frac{1}{2} \sum\limits_{k=p+1}^{p+m}\sin \left[k \pi \left(\frac{t}{l\sqrt{a}}+\frac{x}{l}\right)\right] + \frac{1}{2} \sum\limits_{k=p+1}^{p+m}\sin\left[k \pi \left(\frac{x}{l}-\frac{t}{l\sqrt{a}}\right)\right]$$

Каждая из новых сумм ограничена в силу, как оказалось, известной формулы для частичных сумм ряда Фурье! Ну, то есть, ее вольной интерпретации (вывод аналогичен тому, что приведен в Вики):

$$\sum\limits_{k=p}^{n}\sin [k \xi] = \frac{\cos\left[\xi \left(n+\frac{1}{2}\right)\right]-\cos\left[\xi \left(p-\frac{1}{2}\right)\right]}{2\sin[\xi /2]} \leq \frac{1}{\sin[\xi /2]}$$

ч.т.д.

Как-то оно все выглядит неоправданно громоздко. Может быть стоит где-нибудь сократить рассуждения или исправить?

[_hum_]

Да, жах какой-то. Вы как-то коряво на ряды разбили. Вам же Someone рекомендовал нужное разбиение

Someone в сообщении #608961 писал(а):

Далее пишем
$\cos\frac{t\sqrt{4n^2\pi^2a-l^2}}{2la}=\left(\cos\frac{t\sqrt{4n^2\pi^2a-l^2}}{2la}-\cos\frac{2tn\pi\sqrt{a}}{2la}\right)+\cos\frac{2tn\pi\sqrt{a}}{2la}$

Формула разности косинусов через произведение синусов дает:
$\Delta_n = \left(\cos a_n -\cos b_n \right) = O\left(\sin(\frac{a_n - b_n}{2}) \right), n\rightarrow \infty$.
И далее, поскольку $a_n - b_n \rightarrow 0$, то получаете что-то наподобие
$\Delta_n = O\left(\frac{1}{n^2} \right)$.
Ну, а значит, первый ряд, который содержит $\Delta_n$, будет абсолютно сходиться.

[M_ike]

Попытка №2
Доказать, что сумма

$$\sum _{k=1}^n \cos\left[\frac{t \sqrt{-l^2+4 k^2 \pi ^2 a}}{2 l a}\right] \sin\left[\frac{k \pi x}{l}\right]$$

по модулю ограничена при любом $n$.
Асимптотическое разложение для дроби под косинусом (при $k \to \infty$):

$$\frac{t \sqrt{-l^2+4 k^2 \pi ^2 a}}{2 l a}=\frac{\pi t k}{\sqrt{a} l}+O\left[\frac{1}{k^1}\right]$$

Тогда:

$$\cos\left[\frac{t \sqrt{-l^2+4 k^2 \pi ^2 a}}{2 l a}\right] =\left(\cos\left[\frac{t \sqrt{-l^2+4 k^2 \pi ^2 a}}{2 l a}\right] -\cos\left[\frac{\pi t k}{l \sqrt{a}}\right]\right)+\cos\left[\frac{\pi t k}{l \sqrt{a}}\right]$$

Представим через произведение синусов:

$$\cos\left[\frac{t \sqrt{-l^2+4 k^2 \pi ^2 a}}{2 l a}\right] =2 \sin\left[\frac{\sqrt{-l^2+4 a k^2 \pi ^2} t}{4 a l}-\frac{k \pi t}{2 \sqrt{a} l}\right] \sin\left[\frac{k \pi t}{2 \sqrt{a} l}+\frac{\sqrt{-l^2+4 a k^2 \pi ^2} t}{4 a l}\right]+\cos\left[\frac{\pi t k}{l \sqrt{a}}\right]$$

Сделаем оценку:

$$\cos\left[\frac{t \sqrt{-l^2+4 k^2 \pi ^2 a}}{2 l a}\right] \leq 2 \sin\left[\frac{\sqrt{-l^2+4 a k^2 \pi ^2} t}{4 a l}-\frac{k \pi t}{2 \sqrt{a} l}\right]\times 1+\cos\left[\frac{\pi t k}{l \sqrt{a}}\right]$$

При $k \to \infty$:

$$\sin\left[\frac{\sqrt{-l^2+4 a k^2 \pi ^2} t}{4 a l}-\frac{k \pi t}{2 \sqrt{a} l}\right]=O\left[\frac{1}{k^1}\right]$$

Тогда:

$$2 \sin\left[\frac{\sqrt{-l^2+4 a k^2 \pi ^2} t}{4 a l}-\frac{k \pi t}{2 \sqrt{a} l}\right]+\cos\left[\frac{\pi t k}{l \sqrt{a}}\right] =2\times O\left[\frac{1}{k^1}\right]+\cos\left[\frac{\pi t k}{l \sqrt{a}}\right]$$

Подставим все с трудом добытые результаты в исходный ряд :

$$\sum _{k=1}^n \left(2\times O\left[\frac{1}{k^1}\right]+\cos\left[\frac{\pi t k}{l \sqrt{a}}\right]\right) \sin\left[\frac{k \pi x}{l}\right]$$

$$\sum _{k=1}^n \left(\cos\left[\frac{k \pi t}{\sqrt{a} l}\right] \sin\left[\frac{k \pi x}{l}\right]\right)+2\sum _{k=1}^n \left(O\left[\frac{1}{k^1}\right] \sin\left[\frac{k \pi x}{l}\right]\right)$$

Первый ряд ограничен (по модулю не превышает единицы), второй ряд вообще сходится.
Что и требовалось доказать?
Теперь я, вроде, правильно истолковал все рекомендации

[_hum_]

Может, все же стоит глянуть теорию рядов. А то вы как-то мешаете обычные суммы с рядами.