компакт

[Oleg Zubelevich]

Доказать, что замкнутое множество $K$ в банаховом пространстве $X$ компактно iff существует последовательность $x_k,\quad \|x_k\|\to 0$ такая, что $K\subseteq \overline{\mathrm{conv}\,\{x_k\}}$

[lyuk]

Пусть $A_1$ -- конечная $\frac14$-сеть в $K_1=K$. Положим $K_2=\bigcup\limits_{x\in A_1}(B[x,\frac14]\cap K_1)$ и выберем конечную $\frac{1}{4^2}$-сеть $A_2$ в $K_2$. Далее $K_3=\bigcup\limits_{x\in A_2}(B[x,\frac{1}{4^2}]\cap K_2)$ и $A_3$-- конечная $\frac{1}{4^3}$-сеть в $K_3$. И т. д. Теперь искомая последовательность -- это занумерованые элементы множества $A=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}2^{n-1} A_n$.

[lyuk]

Неточно.

Пусть $A_1$ -- конечная $\frac14$-сеть в $K_1=K$. Положим $K_2=\bigcup\limits_{x\in A_1}((B[x,\frac14]\cap K_1)-x)$ и выберем конечную $\frac{1}{4^2}$-сеть $A_2$ в $K_2$. Далее $K_3=\bigcup\limits_{x\in A_2}((B[x,\frac{1}{4^2}]\cap K_2)-x)$ и $A_3$ -- конечная $\frac{1}{4^3}$-сеть в $K_3$. И т. д. Теперь искомая последовательность -- это занумерованые элементы множества $A=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}2^{n} A_n$.

[Oleg Zubelevich]

Угу. А теперь чуть потоньше.

Пусть $H$ -- гильбертово пространство с ортонормированным базисом $\{e_k\}$. Доказать, что если $K\subset H$ -- компакт то найдется такой элемент $w=\sum w_ke_k\in H$, что для любого $x=\sum x_ke_k\in K$ выполнено $|x_k|\le w_k$.

Утверждение остается справедливым в банаховом пространстве с безусловным базисом Шаудера.

[lyuk]

Ага, это настолько тоньше, что аж рвется (мне так кажется).

Пусть $K=\{\frac{1}{\sqrt n}e_n:n\in\mathbb N\}$. И какое тогда $x$?

[Oleg Zubelevich]

да, это я чепуху сказал

[lyuk]

Бывает.

[grimivanov]

Окончательная версия доказательстваlyuk не верна(не точна).