Число областей

[Alexander Evnin]

В пространстве отмечено 5 точек общего положения. Через каждые три из этих точек проведена плоскость. На какое число частей при этом разбито пространство? Я знаю три довольно правдоподобных рассуждения по поводу этой задачи, но приводят они к разным ответам :). Общее у ответов то, что они оканчиваются на 6. А какой ответ получится у вас?

[VAL]

Alexander Evnin в сообщении #608436 писал(а):

Общее у ответов то, что они оканчиваются на 6. А какой ответ получится у вас?

Мой, 118, не совпадает ни с одним из Ваших
Впрочем, считал не слишком аккуратно.

-- 22 авг 2012, 17:56 --

VAL в сообщении #609127 писал(а):

Alexander Evnin в сообщении #608436 писал(а):

Общее у ответов то, что они оканчиваются на 6. А какой ответ получится у вас?

Мой, 118, не совпадает ни с одним из Ваших
Впрочем, считал не слишком аккуратно.

Впрочем, уже 116. У Вас такой имеется?

[Alexander Evnin]

Я этой задачей занимался довольно давно. Помню, что из трёх ответов наименьший был 86, а наибольший 126. А третий - то ли 96, то ли 116. Интересно, что рассуждения, приводившие к разным ответам, в плоском случае (для n точек на плоскости) давали один и и тот же результат.

[Профессор Снэйп]

Alexander Evnin в сообщении #608436 писал(а):

В пространстве отмечено 5 точек общего положения.

А "общее положение" - это когда никакие 4 не лежат в одной плоскости? Или ещё что-то требуется?

[VAL]

Alexander Evnin в сообщении #609150 писал(а):

Интересно, что рассуждения, приводившие к разным ответам, в плоском случае (для n точек на плоскости) давали один и и тот же результат.

Осталось рассказать, что это за способы.

Я считал так: 5 точек общего положения дают ${5 \choose 3}=10$ плоскостей.
10 плоскостей общего положения разбивают пространство на 176 частей.
Но наши плоскости, разумеется, не общего положения, поскольку в каждой из данных точек пересекаются по 6 плоскостей. Каждое такое пересечение "съедает" по 12 частей. Откуда и получается ответ 116.

[Alexander Evnin]

Почему "каждое такое пересечение "съедает" по 12 частей"?

[Профессор Снэйп]

Вот есть 4 точки. Они дают тетраэдр. Пятую точку можно засунуть либо внутрь тетраэдра, либо в одну из "боковых областей", либо в одну из "угловых". Надо разбирать все случаи...

Но тут на меня вдруг напал геометрический кретинизм Визуализировать картинку мозг отказывается, работать непонятно с чем тоже

Наверное, можно чисто алгебраически задачу раздолбать! Надо подумать как.

[ИСН]

VAL, это рассуждение подразумевает, что у нас не может быть других особых точек пересечения (где пересекается более трёх плоскостей). А они могут быть, и есть.

[VAL]

Alexander Evnin в сообщении #609180 писал(а):

Почему "каждое такое пересечение "съедает" по 12 частей"?

6 плоскостей общего положения разбивают пространство на 42 части. А 6 плоскостей, имеющих одну общую точку - на 30.

-- 22 авг 2012, 19:55 --

ИСН в сообщении #609190 писал(а):

VAL, это рассуждение подразумевает, что у нас не может быть других особых точек пересечения (где пересекается более трёх плоскостей). А они могут быть, и есть.

О том, что могут быть, я думал. Но ничего не придумал.
А о том, что есть, даже не догадывался

[ИСН]

По крайней мере, все точки вида "прямая 12 протыкает плоскость 345"...

[Профессор Снэйп]

Будут ли точки $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$ и $(1,1,1)$ находится в общем положении? Ответьте, пожалуйста, кто-нибудь, потому что я действительно не понимаю, что есть "общее положение"

[ИСН]

Короче, я за 96 (внимательно посмотрел на правильный тетраэдр с точкой в центре - достаточно ли это общо?), но не удивлюсь, если возможны варианты.

[VAL]

ИСН в сообщении #609196 писал(а):

По крайней мере, все точки вида "прямая 12 протыкает плоскость 345"...

Угу. Увидел.

-- 22 авг 2012, 20:51 --

ИСН в сообщении #609204 писал(а):

Короче, я за 96 (внимательно посмотрел на правильный тетраэдр с точкой в центре - достаточно ли это общо?), но не удивлюсь, если возможны варианты.

У меня пока 106. Кроме пяти исходных точек, в которых пересекаются по 6 плоскостей, пока вижу еще 10 точек (по одной на каждой из 10-и прямых, проходящих через исходные точки), в которых пересекаются по 4 плоскости. Каждая из таких точек убирает по одной части.

Чего я еще не учел?

-- 22 авг 2012, 20:55 --

Профессор Снэйп в сообщении #609203 писал(а):

Ответьте, пожалуйста, кто-нибудь, потому что я действительно не понимаю, что есть "общее положение"

Я понимаю под этим ровно то, что Вы написали: Никакие 4 не лежат в одной плоскости.

[Mathusic]

VAL в сообщении #609168 писал(а):

10 плоскостей общего положения разбивают пространство на 176 частей.

Для $n$ плоскостей выходит ответ $\Omega_3(n)=C^3_n+C^2_n+C^1_n+C^0_n=\frac{(n^2-1)n}6+(n+1).$
Это, вероятно, хорошо известно. А вот скажите, пожалуйста, известно ли вам что-нибудь для $k$-мерной задачи?
Посмотрите пожалуйста тему post609224.html и последнее сообщение в частности

[VAL]

Mathusic в сообщении #609227 писал(а):

VAL в сообщении #609168 писал(а):

10 плоскостей общего положения разбивают пространство на 176 частей.

Для $n$ плоскостей выходит ответ $\Omega_3(n)=C^3_n+C^2_n+C^1_n+C^0_n=\frac{(n^2-1)n}6+(n+1).$
Это, вероятно, хорошо известно. А вот скажите, пожалуйста, известно ли вам что-нибудь для $k$-мерной задачи?
Посмотрите пожалуйста тему post609224.html и последнее сообщение в частности

По ссылочке потом схожу.
Но сразу напишу: задача легко решается для n гиперплоскостей общего положения в k-мерном пространстве.
Пусть $F_k(n)$ - количество частей разбиения. Тогда справедливо рекуррентное соотношение $F_k(n)=F_k(n-1)+F_{k-1}(n-1)$. Вместе с очевидными соотношениями $F_1(n)=n+1$ и $F_k(0)=1$ это дает простой способ подсчета $F_k(n)$.
Все обоснования вполне прозрачны.

ЗЫ: Ссылочку посмотрел. Формула верна.