Фаза в интегралах по траекториям

[Lesobrod]

Решил сыну на пальцах объяснить суммирование вероятностей движения частицы
по разным траекториям. Разумеется, лучший источник - Фейнман, "Странная теория вещества и света".
Надеюсь, все читали и вспомнят. В самом концептуальном примере сын меня остановил:


Если направление результирующей стрелки характеризует фазу, то она
скорее совпадает с вариантами где-то между I-J и D-E, но никак с наиболее вероятным путём G!!
Фраза "отражение от той части, которая вносит наибольший вклад в фазу" в принципе, понятна.
Но на таком уровне наглядности, хотелось бы понагляднее!!
А у меня свой вопрос - что же означает направление, т.е. фаза результирующего вектора??

[мат-ламер]

(Оффтоп)

С любопытством пойду почитаю цитируемую книгу. Фраза "все пути, по которым мог бы пойти свет" привела меня в полное замешательство. Я считал, что свет - это решение гиперболического уравнения.

[Munin]

Lesobrod в сообщении #608640 писал(а):

Если направление результирующей стрелки характеризует фазу, то она
скорее совпадает с вариантами где-то между I-J и D-E, но никак с наиболее вероятным путём G!!

По идее, правильно. Эта линия в пределе умельчения стрелок становится спиралью Корню. И для неё верно, что направление между центрами не совпадает с касательной посередине спирали.

Играет ли эта разница где-нибудь роль, и измерялась ли в экспериментах, не знаю.

-- 21.08.2012 19:40:11 --

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #608675 писал(а):

С любопытством пойду почитаю цитируемую книгу.

Отлично, наконец-то!

мат-ламер в сообщении #608675 писал(а):

Я считал, что свет - это решение гиперболического уравнения.

Да, но также - и более сложного уравнения, а в геометрическом пределе - вариационного.

[Lesobrod]

Так-то я МИФИ теорфак заканчивал.
Но многие принципиальные вопросы остались "за кадром"
Спираль Корню хорошо знаю; понимаю, что расстояние между фокусами
даёт амплитуду всего процесса (скажем, при дифракции - если нет щелей вообще).
А вот направление? Ведь это фаза. Но чего? Думаю Сивухина полистать, отличный был учебник..

[Alex-Yu]

Lesobrod в сообщении #608695 писал(а):

А вот направление? Ведь это фаза. Но чего?

Как чего??? Квантовой амплитуды, естественно. Квантовая амплитуда -- комплексная величина. Сама по себе фаза квантовой амплитуды смысла не имеет, но разность фаз (допустим, двух путей) -- вполне имеет смысл. А дальше банальнейший метод стационарной фазы: совершенно по барабану чему равна фаза в точке стационарности, важно, что в этой точке она почти не меняется... В общем странный вопрос, не понятный. Может Вы что-то иное имели в виду?

[Munin]

Lesobrod в сообщении #608695 писал(а):

А вот направление? Ведь это фаза. Но чего?

Фаза итогового колебания в точке $P.$

Надо придумать опыт, чтобы без учёта этого сдвига было бы одно, а с ним - другое. Например, пустить лучи с разным числом отражений от зеркал, и проинтерферировать. Может получиться красивая демонстрашка.

мат-ламер
После "КЭД - странная теория света и вещества", рекомендую ещё "Квантовая механика и интегралы по траекториям", там то же самое, но с формулами.

-- 21.08.2012 20:26:19 --

Alex-Yu
Обратите внимание, что разность фаз (по экстремальному пути и суммарной) имеет место не только в квантовом, но и в чисто волновом случае. Так что, может быть, её можно сделать наблюдаемой.

Например, заменяя большое зеркало маленьким зеркальцем в окрестности точки $G.$

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #608717 писал(а):

Обратите внимание, что разность фаз (по экстремальному пути и суммарной) имеет место не только в квантовом, но и в чисто волновом случае.

У Фейнмана идет речь о квантах. Ну а для классических волн и вопроса не может быть "фаза чего". Чего колеблется (волна -- это распространяющееся колебание), того и фаза

-- Вт авг 21, 2012 23:36:42 --

Lesobrod в сообщении #608640 писал(а):

Если направление результирующей стрелки характеризует фазу, то она
скорее совпадает с вариантами где-то между I-J и D-E, но никак с наиболее вероятным путём G!!

Само собой.

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{ix^2}dx = \sqrt{\pi}\, e^{i\pi / 4} $$

-- комплексная величина. Но общий фазовый множитель ($e^{i\pi / 4}$ в данном случае) ни кого "не колышет". Важно, что модуль определяется лишь участком, где зависимость фазы от $x$ примерно параболична вблизи экстремума. Собственно на этом метод стацфазы и основан: ищем где фаза почти не меняется и апроксимируем зависимость вблизи этого экстремума параболой. В итоге вычисления сводятся к интегралу записанного выше вида. Все остальное из-под интеграла просто выносится как константа (ну или примерно константа, если еще предэкспонента есть).

[Lesobrod]

Теперь понял главный прикол. Если вы посмотрите не только этот листок,
а весь параграф, то увидите, что это был анализ опыта для отражения электрона,
к коему применялось нечто вроде зон Шустера из физической оптики.
Я неплохо разбираюсь в физике; и сейчас ещё раз прочитал данный раздел в Сивухине. Поверьте, это не троллинг , но что-то здесь не так....

[Alex-Yu]

Lesobrod в сообщении #608736 писал(а):

к коему применялось нечто вроде зон Шустера из физической оптики.

Не изобретайте не нужных вещей. Все там просто. Крайне просто. На счет метода стацфазы все, что может представлять реальный интерес, я Вам выше написал. А дальше -- банальности. И шел бы Шустер куда подальше

[Lesobrod]

Да я-то разобрался!)) Проблема в том, что сейчас подход сложения векторов,
образующих спираль Корню часто (начиная с Фейнмана) подаётся как элементарный педагогический приём -
"Вот почему угол падения равен углу отражения! И у света,и у электрона.") .
Но, действительно, в основе лежит метод стационарной фазы.
А как его грамотно && популярно объяснить - это вопрос.

[Alex-Yu]

Lesobrod в сообщении #608760 писал(а):

Проблема в том, что сейчас подход сложения векторов,
образующих спираль Корню часто (начиная с Фейнмана) подаётся как элементарный педагогический приём -

Не знаю как кого, но меня еще в студенчестве зоны со спиралью Корню приводили просто в бешенство. Это надо же столько излишеств накрутить вокруг такой простой вещи, как интеграл

[Munin]

А по-моему, наоборот. "Просто интеграл" - этим ещё ничего не сказано, а вот зоны да спирали показывают, почему всё, кроме экстремума, можно игнорировать.

Кстати, а "метод перевала" что такое?

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #608816 писал(а):

. "Просто интеграл" - этим ещё ничего не сказано, а вот зоны да спирали показывают, почему всё, кроме экстремума, можно игнорировать.

Если понимаешь, что такое интеграл, то очевидно, что осциллирующая часть вклада почти не дает. И без всяких там спиралей.

-- Ср авг 22, 2012 04:47:04 --

Munin в сообщении #608816 писал(а):

Кстати, а "метод перевала" что такое?

То же самое (на идейном уровне) что и метод стацфазы, но в комплексной области. Ну есть там, конечно, ньюанс: надо правильно загнуть контур. Хотя в ответ расположение этого контура не входит (и понятно почему: после того, как все, кроме экспоненты от квадратичной формы, из-под интеграла вынесено, контур можете гнуть как угодно, ничего не поменяется). А есть еще метод Лапласа: то же самое, но для действительной экспоненты. В общем частные случаи. Более общий метод -- метод перевала.

[Munin]

Спасибо.