объясните как строго доказать гладкость отображения

[RandomWalker]

M, N - абстрактные многообразия

доказать что отображение

f: (x,y) \longmapsto (y) является гладким M \times N \longmapsto N

(может есть какая нибудь теорема, что линейное отображение является гладким отображением?)

Доказывать нужно через определения

1) $\Omega \subset R^m$, $\Gamma \subset R^l$. Отображение $f: \Omega \longmapsto \Gamma$ гладкое, если для каждой точки $p \in \Omega$ существует открытое множество $W \subset R^n$ вокруг p и гладкое отображение $F: W \longmapsto R^l$, совпадающее с f на $W \bigcap \Omega$

2) $f: M \longmapsto \tilde{M}$ непрерывное отображение между абстрактными многообразиями. Отображение f гладкое, если для каждой карты $\sigma$ атласа М и каждой карты $\tilde{\sigma}$ атласа М', координатное выражение $\tilde{\sigma^{-1}} \circ f \circ \sigma$ гладко.

Подскажите, пожалуйста, что тут нужно делать.

[Brukvalub]

RandomWalker писал(а):

(может есть какая нибудь теорема, что линейное отображение является гладким отображением?)

Да, всякое линейное отображение является бесконечно дифференцируемым. Доказательство этого факта сводится к тривиальной проверке определения: матрица первых частных производных такого отображения (матрица Якоби) постоянна и совпадает с матрицей самого отображения. Все производные координатных функций этого отображения порядка выше первого тождественно равны 0. В Вашем случае на любой карте получается именно линейное отображение специального вида- проектор на второе пространство из прямого произведения двух координатных пространств.

[RandomWalker]

Спасибо огромное, Brukvalub! Прояснилось!