Среднее и Среднемассовое

[Alkast]

Решил численно задачу Фергюссона - Селлерса (теплообмен в круглой трубе, ламинарное течение) , как результат - получил поле температур в виде двумерного массива. (Для примера возьмем 3х3)

$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} $$

Теперь, для проверки решения, мне нужно вычислить параметр по каждому сечению (столбцу), который зависит от значения "на нижней стенке" массива и от среднемассового значения температуры в сечении (столбце). К примеру, для первого сечения:

Значение на нижней стенке: $a_{31}$;
Среднемассовая температура: некоторая функция $f(a_{11}, a_{21}, a_{31})$;

Внимание вопрос: как найти среднемассовую температуру(величину), если имеются все значения этой величины в исследуемом диапазоне? Иными словами, каков вид функции $f(a_{11}, a_{21}, a_{31})$? Если бы у меня было решение в виде аналитической зависимости - я бы мог взять интеграл и нашел бы среднемассовое. Но есть лишь итоговые, числовые значения величины. Как быть?

P.S. Простое арифметическое осреднение не предлагать. Не сходится =(

[svv]

Каким переменным (каким координатам?) соответствуют индексы?
Я к тому, что если интеграл по площади/объему, а труба круглая, так там якобиан должен быть (равный $\rho$), и при дискретном задании функции тоже.

[Alkast]

Индексы соответствуют прямоугольным координатам X и R (вместо R можно смело подставить Y, поскольку задача симметрична относительно оси в любой плоскости, то есть практически плоская задача). То есть $a_{i,j}$ это $a_{x,r}$, где x - горизонтальный номер сечения, r - вертикальная координата.

Не подскажите, каков вид якобиана? Насколько я правильно понимаю, я должен буду домножать значение температуры в каждой точке на какую-то функцию и потом получившиеся значения осреднять арифметически?

[svv]

Для круглой трубы естественно использовать цилиндрическую систему координат (во всяком случае, в теоретических расчетах). Изменению $z$ соответствует движение параллельно оси трубы, изменению $\rho$ — радиальное движение, изменению $\varphi$ — поворот вокруг оси.

В цилиндрической системе якобиан равен $\rho$, см. моё предыдущее сообщение. Координата $\rho$ равна расстоянию от точки до оси трубы.

[Alkast]

То есть я правильно понимаю, что для того, чтобы найти среднемассовое в моем случае, необходимо каждое значение температуры в точке домножить на координату $\rho$ данной точки, и совокупность полученных значений осреднить арифметически?

[svv]

Alkast писал(а):

Теперь, для проверки решения, мне нужно вычислить параметр по каждому сечению (столбцу), который зависит от значения "на нижней стенке" массива и от среднемассового значения температуры в сечении (столбце). К примеру, для первого сечения:
Значение на нижней стенке: $a_{31}$;
Среднемассовая температура: некоторая функция $f(a_{11}, a_{21}, a_{31})$;

Значит, $a_{11}, a_{21}, a_{31}$ — это значения в точках первого сечения?

Хотелось бы думать, что в сечении постоянна цилиндрическая координата $z$. Она меняется при движении вдоль трубы (если труба горизонтальная, то это горизонтальное движение, смело поворачиваем систему координат на 90 градусов). А в сечении, перпендикулярном оси трубы, $z$ постоянна. Вы, скорее всего, $z$ обозначаете через $X$. Труба у Вас, скорее всего, горизонтальная, правильно? Значит, меняя $X$, мы движемся горизонтально вдоль трубы, так?

А меняется в сечении $\rho$, радиальная координата, она у Вас $R$.

Но это противоречит вот чему.

Alkast писал(а):

То есть $a_{i,j}$ это $a_{x,r}$, где x - горизонтальный номер сечения, r - вертикальная координата.

Получается, что фиксированному $X$ соответствует фиксированное значение первого индекса, $x$, но тогда почему у величин $a_{11}, a_{21}, a_{31}$ совпадает второй индекс?

[Alkast]

Извиняюсь, что ввел в заблуждение. Всё в точности так, как вы описали во втором абзаце. Наверное, в спешке, перепутал индексы. Правильно так:
$a_{r,x}$, r - номер точки по радиусу, x - номер сечения.

[svv]

Хорошо. И ещё вопросы.

Пусть первый, "радиальный" индекс меняется от $1$ до $m$. Точки со значением индекса 1 лежат точно на оси трубы или немного смещены? Точки со значением $m$ лежат точно на стенке или немного смещены?

Точки с соседними значениями располагаются через равные расстояния, т.е сетка равномерная?

Вы говорите о среднемассовой температуре. Это то же, что средняя по объему температура, при условии, что плотность жидкости постоянна (хотя бы в данном сечении). А она у Вас постоянна?

[ewert]

svv в сообщении #608110 писал(а):

Точки со значением индекса 1 лежат точно на оси трубы или немного смещены? Точки со значением $m$ лежат точно на стенке или немного смещены?

Наиболее разумная аппроксимация -- когда начальному значению индекса соответствуют точки, отстоящие от центра на полшага (в самом центре они, естественно, находиться не могут). Для последнего индекса -- зависит от типа граничных условий: если это условия Дирихле, то последний узел, конечно, на границе, а вот для условий Неймана может оказаться выгоднее отступить опять же на полшага вглубь области.

[Alkast]

2 svv

svv в сообщении #608110 писал(а):

Хорошо. И ещё вопросы.

Пусть первый, "радиальный" индекс меняется от $1$ до $m$. Точки со значением индекса 1 лежат точно на оси трубы или немного смещены? Точки со значением $m$ лежат точно на стенке или немного смещены?

Точки с соседними значениями располагаются через равные расстояния, т.е сетка равномерная?

Вы говорите о среднемассовой температуре. Это то же, что средняя по объему температура, при условии, что плотность жидкости постоянна (хотя бы в данном сечении). А она у Вас постоянна?

Считаю от оси к стенке, так как задача симметричная. На оси (точки с индексом 1) задано условие симметрии (производная по радиусу равна нулю), на стенке задан тепловой поток, т.е. производная по радиусу равна некоторой величине....Вообще, лучше, наверное, дать ссылку на физическое описание самой задачи, чтобы, возможно, отсеять будущие вопросы. Оно в этом файле (это сканированные страницы из книги) https://docs.google.com/open?id=0B_LTMo ... 0o4amtRSUU.

Сетка равномерная. Плотность постоянна.

Возможно, раз уж я скинул описание в файле, стоит поподробнее разъяснить проблему. Дело в том, что есть задача, которая решена аналитически (по ссылке). Я хочу решить её численно и проверить через критерий Нуссельта. Он считается через среднемассовую температуру. Я хочу получить эту среднемассовую температуру непосредственно из своих данных (из поля температуры, которое я посчитал численно). Но не знаю, как это сделать. Я брал среднюю температуру по сечению - значения не сходятся с проверочным (проверочное 4,36, мое 4,28).

2ewert

ewert в сообщении #608115 писал(а):

Наиболее разумная аппроксимация -- когда начальному значению индекса соответствуют точки, отстоящие от центра на полшага (в самом центре они, естественно, находиться не могут).

Не совсем понимаю, почему такая аппроксимация "разумна"...и почему точка не может находится в самом центре. Можете, пожалуйста, пояснить? И каким образом тогда запишется граничное условие для "первой точки"?

[svv]

Alkast
Хорошо, я понял, как у Вас расположены точки. Зафиксируем $z$ и рассмотрим одно сечение. Пусть радиус трубы равен $\rho_{\max}$.
Для дальнейшего мне будет удобно нумерацию точек по радиусу начинать с нуля (надеюсь, это Вас не сильно напряжёт). Итак, $k=0..n$, всего в сечении $n+1$ точек. Шаг между соседними точками тогда будет $h=\frac{\rho_{\max}}{n}$, а координата $\rho$ точки с индексом $k$ равна $\rho_k=kh$. В частности, $\rho_0=0, \rho_n=\rho_{\max}$.

Разобъем сечение на кольца, так, чтобы $k$-я точка находилась в $k$-м кольце:

$$\begin{cases} [0,\frac h 2],&k=0\\ [(k-\frac 1 2)h, (k+\frac 1 2)h],&0<k<n\\ [(n-\frac 1 2)h, nh],&k=n\end{cases}$$

Пусть некоторая величина $a(\rho)$ в $k$-й точке равна $a_k$. Я предлагаю среднее $a$ по сечению находить так: $\dfrac{a_0 S_0+a_1 S_1+...+a_n S_n}{S_0+S_1+...+S_n}$
где $S_k$ — площадь $k$-го кольца. Сумма в знаменателе равна площади сечения. Нетрудно выписать $S_k$ явно (осторожно, так как кольца с номерами $0$ и $n$ вдвое тоньше остальных, для них формулы особые).
Введение весовых множителей, пропорциональных площади, за которую "отвечает" каждая точка, и будет учетом якобиана.