Дифференцирование на H

[Mathusic]

Определение.
Дифференцированием в кольце $R$ называется гомоморфизм $\partial$ этого кольца в себя, удовлетворяющий правилу Лейбница: $\partial(ab)=\partial(a)b+a\partial(b).$

Задача. Найти все дифференцирования в кольце кватернионов $\mathbb{H}$.

(Оффтоп)

За олимпиадную сойдет?

[lek]

Вообще говоря, дифференцирование это не эндоморфизм кольца (поскольку гомоморфизм колец всегда подразумевается условие типа $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$, а здесь этого нет), а всего лишь (линейный) оператор, действующий на $R$.

Что же касается вашей задачи... Известно, что всякое дифференцирование конечномерной центральной простой ассоциативной алгебры $A$ (в частности, алгебры кватернионов) является внутренним. В свою очередь, все внутренние дифференцирования алгебры $A$ образуют алгебру дифференцирований - алгебру Ли (с операцией коммутирования в качестве умножения), порожденную операторами $L_{a}-R_{a}:x\to[a,x]$, где $a,x\in A$. Используя все это можно легко показать, что множество всех дифференцирований алгебры кватернионов образуют алгебру Ли, изоморфную $so(3)$.

(Оффтоп)

Вряд ли...

[Mathusic]

lek в сообщении #607706 писал(а):

Вообще говоря, дифференцирование это не эндоморфизм кольца (поскольку гомоморфизм колец всегда подразумевается условие типа $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$

Ну да. Тут я начудил.
Надо было просто два свойства перечислить. То есть под гомоморфизмом подразумевался гомоморфизм аддитивной группы в себя - просто $\partial(a+b)=\partial(a)+\partial(b)$.

-- Вс авг 19, 2012 22:04:49 --

lek в сообщении #607706 писал(а):

Вряд ли...

Ну это вы что-то загнули. Хотя может и я слажал.
Решение тут не выходит за рамки школьной программы практически

[lek]

Mathusic в сообщении #607718 писал(а):

Решение тут не выходит за рамки школьной программы практически

Не исключено, алгебра очень простая... То, что любой оператор внутреннего дифференцирования алгебры кватернионов имеет вид $L_{a}-R_{a}$ легко показать используя тождество Якоби (которое в случае операции коммутирования "доказывается в лоб"). Но как показать (не выходя за рамки школьной программы), что всякое дифференцирование этой алгебры является внутренним?

[Mathusic]

lek в сообщении #607750 писал(а):

дифференцирования алгебры

Дифференцирования не алгебры, а кольца. В определении для алгебры есть ещё и линейность дифференцирования как гомоморфизма линейных пространств, например Это же слишком будет

lek в сообщении #607706 писал(а):

всего лишь (линейный) оператор

Стоп. Правило Лейбница вы в расчет не берете что ли?

[lek]

Mathusic в сообщении #607770 писал(а):

Дифференцирования не алгебры, а кольца. В определении для алгебры есть ещё и линейность дифференцирования как гомоморфизма линейных пространств, например Это же слишком будет

Принципиальной разницы нет, поскольку для алгебры добавляется лишь условие $D(\lambda x)=\lambda D(x)$ ($\lambda\in\mathbb{R}$), которое обычно принципиального значения не имеет.

Кроме того, в вашем случае точнее говорить все же о дифференцировании алгебры. Поскольку понятие "кольцо кватернионов" (в отличие от алгебры кватернионов) требует расшифровки. Это понятие не является общепринятым... К тому же вы обозначаете это кольцо символом $\mathbb{H}$, который зарезервирован для алгебры кватернионов.

Mathusic в сообщении #607770 писал(а):

Правило Лейбница вы в расчет не берете что ли?

Подразумевалось автоматически... Выше я указал лишь на неточность в определении, полную формулировку которого не давал.

[Mathusic]

lek в сообщении #607782 писал(а):

Принципиальной разницы нет, поскольку для алгебры добавляется лишь условие

И это несущественно?

lek в сообщении #607782 писал(а):

Кроме того, в вашем случае точнее говорить все же о дифференцировании алгебры.

Но задачи получаются разными. Да и определение давалось для кольца. Для алгебры не было.

lek в сообщении #607782 писал(а):

Поскольку понятие "кольцо кватернионов" (в отличие от алгебры кватернионов) требует расшифровки. Это понятие не является общепринятым...

Ну куда-то совсем уводите от темы. Ну да ладно.
Вы можете по разному расшифровать "кольцо кватернионов"? По-моему тут никаких разночтений! Ну только, если их специально не придумывать

[lek]

Mathusic в сообщении #607812 писал(а):

Ну куда-то совсем уводите от темы.

Согласен... Итак, требуется найти все дифференцирования тела кватернионов $\mathbb{H}$. Описать все внутренние дифференцирования $\mathbb{H}$ не трудно. Но как доказать (не выходя за рамки школьной программы), что всякое дифференцирование $\mathbb{H}$ является внутренним? И какую математику вы считаете допустимо использовать (со школьной программой я знаком плохо)?

[lek]

Mathusic в сообщении #607812 писал(а):

Но задачи получаются разными.

Нет не разные. Поскольку алгебра кватернионов является центральной (ее центр $\text{Z}(\mathbb{H})=\mathbb{R}$), термины "алгебра кватернионов" и "тело кватернионов" описывают один объект.

[Mathusic]

lek в сообщении #607854 писал(а):

"алгебра кватернионов" и "тело кватернионов" описывают один объект.

Ну это и так очевидно . Вы хотите сказать (то есть утвердили уже), что из того, что $\mathbb{R}$ - центр, следует ещё и полная линейность? Ну тогда задача вообще становится простой -- нужно просто определить $\partial$ на базисных единицах!

[lek]

Mathusic в сообщении #607931 писал(а):

Вы хотите сказать (то есть утвердили уже), что из того, что - центр, следует ещё и полная линейность?

В случае тела кватернионов $\mathbb{H}$ это так...

Mathusic в сообщении #607931 писал(а):

Ну тогда задача вообще становится простой -- нужно просто определить $\partial$ на базисных единицах!

Это действительно упрощает ситуацию, но отнюдь не решает задачу. Пусть $D$ - линейный оператор, действующий на пространстве $\mathbb{H}$ и удовлетворяющий тождеству Лейбница. Почему он должен обязательно иметь вид $D=L_{a}-R_{a}$? Утверждение о том, что всякое дифференцирование конечномерной центральной простой ассоциативной алгебры является внутренним доказывается не тривиально. И не факт, что в случае алгебры кватернионов можно получить существенное упрощение... Об этом я вам уже не первый раз говорю, но вы игнорируете . Разумеется, в условии задачи можно термин "дифференцирование" заменить на "внутреннее дифференцирование". Но тогда задача уже не будет олимпиадной...

[Mathusic]

Ну ладно...
Пусть $R$ - кольцо с единицей, порожденное единицей. Каким $\partial$ может быть?