Ещё одно уравнение в натуральных числах

[nnosipov]

Mathusic в сообщении #607330 писал(а):

В $\mathbb{Z}$ (когда $x,y$ ненатуральны одновременно) можно применить абсолютно аналогичное рассуждение, которые вы применили для натуральных.

Да, но это уже не так важно, поскольку это всего лишь случайный трюк. Важнее, например, понять, что всё будет хорошо (с целочисленными решениями) даже тогда, когда мы не слишком сильно изменим уравнение: $x^2y^2=f(x,y)$, где $f(x,y)$ --- кубический многочлен.

[Mathusic]

nnosipov в сообщении #607332 писал(а):

Да, но это уже не так важно, поскольку это всего лишь случайный трюк. Важнее, например, понять

Согласен.

nnosipov в сообщении #607332 писал(а):

что всё будет хорошо (с целочисленными решениями) даже тогда, когда мы не слишком сильно изменим уравнение: $x^2y^2=f(x,y)$, где $f(x,y)$ --- кубический многочлен.

Как раз непонятно. Наверное, это следует из каких-то общих соображений алгебраической геометрии

Да, у нас же $f(x,y)=x^3+y^3-x^2y^2+1$ -- симметрический многочлен, значит, можно его представить в виде многочлена от $xy$ и $(x+y).$ Но поможет ли это, для исследования над $\mathbb{Q}$?

[nnosipov]

Mathusic в сообщении #607337 писал(а):

Как раз непонятно. Наверное, это следует из каких-то общих соображений алгебраической геометрии

Нет, там попроще, почти элементарно (во всяком случае, для уравнений 3-й и 4-й степени).

Mathusic в сообщении #607337 писал(а):

Да, у нас же $f(x,y)=x^3+y^3-x^2y^2+1$ -- симметрический многочлен, значит, можно его представить в виде многочлена от $xy$ и $(x+y).$ Но поможет ли это, для исследования над $\mathbb{Q}$?

Это естественная идея, но, увы, не помогает даже над $\mathbb{Z}$. Получается в новых неизвестных уравнение, решить которое в целых числах трудно (у меня не вышло, а Вы можете попробовать, вдруг опять какой-нибудь трюк). Про $\mathbb{Q}$ --- надо рыться в литературе, но это уже суровая наука.

[Mathusic]

nnosipov в сообщении #607348 писал(а):

Это естественная идея, но, увы, не помогает даже над $\mathbb{Z}$.

Ну, что над $\mathbb{Z}$ не помогает, это понятно, я его тоже решить не смог

nnosipov в сообщении #607348 писал(а):

Это естественная идея, но, увы, не помогает даже над $\mathbb{Z}$.

Ну бывает же, что более "прогрессивный" метод даёт результат именно на более "широком" множестве. Хотя тут не тот случай, видимо: $f(z,t)=z^3-3zt-t^2+1$

[nnosipov]

Если ранг эллиптической кривой $z^3-3zt-t^2+1=0$ ненулевой, то очень сложно будет. Если же он равен нулю, то все рациональные точки исходной кривой находятся легко.

[nnosipov]

nnosipov в сообщении #607359 писал(а):

Если ранг эллиптической кривой $z^3-3zt-t^2+1=0$ ненулевой ...

Так и есть. Иными словами, на этой кривой имеется бесконечно много рациональных точек. Можно доказать в качестве упражнения (доказательство элементарное).