Ещё одно уравнение в натуральных числах

[nnosipov]

Речь идёт об уравнении $x^2y^2=x^3+y^3+1$, которое в теме topic61311.html предлагалось решить в простых числах (и оно там было успешно решено). В натуральных числах это уравнение также можно решить, но нужен несколько иной подход. Желающие могут попробовать его найти. Задача сравнительно простая и решается в рамках школьной математики.

[DjD USB]

Вот пока что пришло в голову:Докажем то что x и y разной четности.Это легко проверяется по модулю 4.И то что они взаимно просты.

[nnosipov]

DjD USB в сообщении #607209 писал(а):

Докажем то что x и y разной четности.Это легко проверяется по модулю 4.И то что они взаимно просты.

Это мало что даст.
На самом деле решение у этой задачи не простое, а очень простое

[Mathusic]

nnosipov в сообщении #607221 писал(а):

На самом деле решение у этой задачи не простое, а очень простое

Вы прям заинтриговали!
Я страницу исписал -- и ничего

[DjD USB]

Mathusic в сообщении #607234 писал(а):

nnosipov в сообщении #607221 писал(а):

На самом деле решение у этой задачи не простое, а очень простое

Вы прям заинтриговали!
Я страницу исписал -- и ничего

Я тож долго думал

[nnosipov]

Mathusic в сообщении #607234 писал(а):

Вы прям заинтриговали!
Я страницу исписал -- и ничего

А я думал, что, наоборот, скучно будет. Если до вечера никто не решит (что маловероятно), напишу решение.

[Mathusic]

nnosipov в сообщении #607254 писал(а):

А я думал, что, наоборот, скучно будет. Если до вечера никто не решит (что маловероятно), напишу решение.

Да не. Вы так преподнесли задачу, что решение оказалось искать труднее с психологической точки зрения

(Оффтоп)

У вас цитата скосилась, кстати

[nnosipov]

Mathusic в сообщении #607263 писал(а):

Вы так преподнесли задачу, что решение оказалось искать труднее с психологической точки зрения

Это я не специально. Сначала мне показалось, что будет некоторая возня, какая обычно бывает с уравнениями такого типа (она элементарная, но может оказаться тягомотной). И только потом уже заметил, что никакой возни в данном случае нет --- благодаря удачному стечению обстоятельств.

(Оффтоп)

Цитату поправил.

[Shadow]

Вот такая идея:
$f(x)=x^3-a^2x^2+a^3+1=0, a\in N,x>a$. При $a>2, f(a^2-1)<0, f(a^2)>0, \Rightarrow a^2-1<x<a^2$
Т.е х не целое.

[nnosipov]

Shadow в сообщении #607294 писал(а):

Вот такая идея:
$f(x)=x^3-a^2x^2+a^3+1=0, a\in N,x>a$. При $a>2, f(a^2-1)<0, f(a^2)>0, \Rightarrow a^2-1<x<a^2$
Т.е х не целое.

Да, всё верно. Для полноты надо бы ещё объяснить, почему $f(x)$ не имеет корней на промежутке между $a$ и $a^2-1$.

А я имел в виду следующее рассуждение. Можно считать $y \leqslant x$. Если $y=x$, то решений нет. Если $y=x-1$, то $x=3$, $y=2$. Предположим, что $1 \leqslant y \leqslant x-2$. Имеем

$$ x^3+1=y^2(x^2-y), $$

откуда $x^3+1 \equiv 0 \pmod{x^2-y}$. Значит, $xy+1 \equiv 0 \pmod{x^2-y}$. Но последнее невозможно, поскольку

$$ 0<xy+1<x^2-y $$

при $1 \leqslant y \leqslant x-2$.

[Mathusic]

nnosipov в сообщении #607312 писал(а):

Для полноты надо бы ещё объяснить, почему $f(x)$ не имеет корней на промежутке между $a$ и $a^2-1$.

Опять же $f(0)>0,$ $f(a)<0,$ значит -- один еще положительный корень на $(0,a).$ Ну и один отрицательный на интервале $(-a,0)$ -- аналогично.

Красиво, надо сказать, выходит.

[nnosipov]

Ну, вот и разобрались. Спасибо за участие.

[Mathusic]

nnosipov в сообщении #607320 писал(а):

Ну, вот и разобрались. Спасибо за участие.

Кстати, его ещё можно в целых числах рассмотреть.



Ну а в рациональных, наверное, там что-то нетривиальное будет?

[nnosipov]

Mathusic в сообщении #607321 писал(а):

Кстати, его ещё можно в целых числах рассмотреть.

Это само собой. На картинке просматриваются две параболы, аппроксимирующие нашу кривую. Уравнения этих парабол имеют целые коэффициенты, отсюда и успех в решении.

Mathusic в сообщении #607321 писал(а):

Ну а в рациональных, наверное, там что-то нетривиальное будет?

Скорее всего, да.

[Mathusic]

nnosipov в сообщении #607326 писал(а):

Это само собой. На картинке просматриваются две параболы, аппроксимирующие нашу кривую. Уравнения этих парабол имеют целые коэффициенты, отсюда и успех в решении.

В $\mathbb{Z}$ (когда $x,y$ ненатуральны одновременно) можно применить абсолютно аналогичное рассуждение, которые вы применили для натуральных.
И, если я не ошибаюсь, то все случаи исчерпываются решениями $(0,-1),$ и $(1,-1)$ (ну и перестановками переменных; решений вида $x=y$, как легко видеть, нет даже в $\mathbb{Q}$)