стержень на гиперболе

[Oleg Zubelevich]

Не знаю даже в какой раздел помещать задачу. Правильнее, наверное, все-таки в математику.

В декартовой системе координат задана гипербола $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$.
Однородный тонкий стержень длины $l$ и массы $m$ одним своим концом скользит без трения по одной ветве гиперболы, а другим -- по другой, $\overline g=(0,-g)$.

Исследовать движения системы, в частности ее положения равновесия и их устойчивость.

[MajorUrsus]

Ответ на "главный вопрос" видится таким:
если $l \ge 2a$, то центр стержня может пересечь ось x.

Кстати, динамика системы не зависит от массы стержня m.

"Верхнее" положение равновесия (стержень горизонтален и расположен выше оси x) неустойчиво, "нижнее" положение равновесия устойчиво.

[Oleg Zubelevich]

это Вам только так кажется , что задача очевидна.

[MajorUrsus]

Если обозначить через X, Y координаты центра стержня, а через $\varphi$ угол между стержнем и осью x, то имеем соотношения:

$Y=\frac{b^2}{a^2}Xctg(\varphi)$,

$X^2=\frac{a^2}{b^2}{\sin}^2(\varphi)(\frac{l^2}4-\frac{a^2b^2}{b^2{\cos}^2(\varphi)-a^2{\sin}^2(\varphi)})$,

$Y^2=\frac{b^2}{a^2}{\cos}^2(\varphi)(\frac{l^2}4-\frac{a^2b^2}{b^2{\cos}^2(\varphi)-a^2{\sin}^2(\varphi)})$.

Эти формулы параметрически задают возможные положения центра масс стержня (получается "восьмерка" с центром в центре координат), что и дает ответ на вопрос об устойчивости, так как потенциальная энергия стержня в поле силы тяготения зависит лишь от Y.

[Munin]

MajorUrsus в сообщении #607353 писал(а):

получается "восьмерка" с центром в центре координат

Всегда ли "восьмёрка"?

[Oleg Zubelevich]

надо проверять, что конфигурационное многообразие гладкое. Это нужно что бы понять может ли центр стержня пересечь ось X. Потому, что бывает еще и так topic61031.html

вот моя проверка http://www.rapidshare.ru/2868548 (только я стал брать длину стержня равной 2l, $\psi$ -- угол наклона стержня к оси $X$, $x,y$ -- центр стержня)

-- Сб авг 18, 2012 21:52:43 --

и оттуда видно, что в окрестности положений равновесия за обобщенную координату нельзя принимать $y$, а в окрестности точки $x=y=0$ за обобщенную координату нельзя принимать $\psi$

[Oleg Zubelevich]

И так задача повисла. MajorUrsus не привел решения. Его формулы оставляют открытым вопрос о поведении системы в окрестности $x=y=0$. Вдруг там еще одно положение равновесия, или особенность конфигурационного многообразия?

Поставим вопрос так. Доказать, что при $l>2a$ все движения системы периодические и найти зависимость периода от константы интеграла энергии.

[Munin]

Я думаю, что в окрестности $x=y=0$ стержень очевидно спокойно скользит вниз, и ни о каком положении равновесия там говорить нельзя. Точка перегиба разве что.

[Oleg Zubelevich]

ну да, там действительно перегиб, примерно поэтому и параметризация углом не проходит. Даже можно найти $\frac{dy}{dx}=\frac{b^2}{a^2}\ctg\tilde\psi$, где $\tilde\psi$ - угол наклона стержня в положении $x=y=0$. Допустим с кинематикой разобрались. Дальше динамика. Нижнее в и верхнее положения равновесия вырождены судя по всему.
Смысл задачи состоит в том, что ее почти невозможно рассматривать через уравнение Лагранжа -- слишком громоздкие формулы. А если писать общее уравнение динамики со связями то задача вполне поддается.

Вопрос про связь интеграла энергии и периода колебаний остался.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #607906 писал(а):

примерно поэтому и параметризация углом не проходит.

Господи, а зачем углом?

Oleg Zubelevich в сообщении #607906 писал(а):

Допустим с кинематикой разобрались.

Я пока нет. Нарисуйте, пожалуйста, линию, по которой движется центр стержня. Или дайте формулу, я скормлю математике, пусть она нарисует.

[Oleg Zubelevich]

а про восьмерку MajorUrsus как раз все правильно написал и формулы у него наверное тоже правильные

моя версия: http://www.rapidshare.ru/2869401
там еще надо случай $\lambda=-\sqrt$ нарисовать и угол выбирать правильно

[Munin]

Меня просто мучает вопрос, нет ли острий на этой восьмёрке, или каких-нибудь лишних перегибов. Если нет - то и динамический вопрос получается сравнительно прост, надо только по этой восьмёрке указать функцию, связывающую угловую скорость стержня с линейной, чтобы момент инерции учитывать. Но качественно она вряд ли что изменит.

-- 20.08.2012 17:13:55 --

P. S. Чем просмотреть эти .mw, я понятия не имею.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #608152 писал(а):

Чем просмотреть эти .mw, я понятия не имею.

Maple 13,

pdf -- http://www.rapidshare.ru/2869439

[Munin]

А, спасибо!

[Oleg Zubelevich]

вообщем дальше неинтересно , фактически все формулы уже написаны