связность на многообразии

[Oleg Zubelevich]

На гладком многообразии $M$ задана симметричная связность своими символами Кристоффеля $\Gamma^i_{jk}(x)$, где $x$ -- локальные координаты. Еще имеется набор функций $\gamma^i_{jk}(y)$ симметричных по нижним индексам. Написать условия при которых существует локальная замена координат $x\mapsto y$ переводящая $\Gamma^i_{jk}$ в $\gamma^i_{jk}$ .

[Padawan]

Уравнение преобразования коэффициентов связности при замене $x\mapsto y$

$$ \Gamma^k_{ij}(x)\frac{\partial y^l}{\partial x^k}=\frac{\partial^2 y^l}{\partial x^i\partial x^j} +\frac{\partial y^r}{\partial x^i}\frac{\partial y^s}{\partial x^j}\gamma^l_{rs}(y) $$

должно быть разрешимо относительно неизвестных функций $y^l=y^l(x)$. Точнее эта система должна быть вполне интегрируемой.
Записываем её в каноническом виде

$$ \frac{\partial y^l}{\partial x^k}=u^l_k\; , \quad \frac{\partial u^l_i}{\partial x^j}=\Gamma^k_{ij}(x) u^l_k-u^r_iu^s_j\gamma^l_{rs}(y) $$

и записываем условия полной интегрируемости относительно неизвестных функций $y^l=y^l(x)$, $u^l_k=u^l_k(x)$ ($l,k=1,\ldots, n$)
Таким способом решать надо? Тупо в лоб.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #606244 писал(а):

Тупо в лоб.

именно так
там что-то осмысленное должно получиться ,ведь это обобщение теоремы о существовании евклидовых координат

[Padawan]

Надо доделать, интересно че там получится. Наверняка с тензором кривизны как-то связано.

[scwec]

Непонятно, какой содержательный ответ имелся ввиду. Что-то имелось?

[Oleg Zubelevich]

Я ничего не считал. Но введем на множестве связностей отношение эквивалентности: две связности эквивалентны если одна переводится в другую диффеоморфизмом. Я думаю это геометрическое понятие, и ответ должен быть геометрическим.

[scwec]

Вы не думали найти ответ у отцов-основателей?

[Oleg Zubelevich]

а мне не нужен ответ , это просто задача в олимпиадный раздел, если там есть разумный ответ,то он получается так, как сказал Padawan, и как я предполагал ее решать. Теорему Майера -Фробениуса далеко не все знают, как ни странно.