2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Лёгкий способ посчитать определитель
Сообщение15.04.2012, 19:37 


15/01/09
549
Подскажите, если кто знает, какой-нибудь наглядный способ вычисления определителя матрицы
$$
  A = \begin{pmatrix} a_1^2+1 & a_1 a_2 & \cdots & a_1 a_n \\
    a_2 a_1 & (a_2)^2 + 1 & \cdots & a_2 a_n \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_n a_1 & a_n a_2 & \cdots & (a_n)^2 + 1 \end{pmatrix}
$$
Я посчитал его по индукции, получается $\det{A} = 1 + a_1^2 + \ldots + a_n^2$. Но мне кажется, что есть какое-нибудь более простое и наглядное доказательство, чем та возня, которая возникает в индукционном переходе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лёгкий способ посчитать определитель
Сообщение15.04.2012, 20:05 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Пусть $(v_i)$ — стандартный базис. Обозначая $\sum a_iv_i$ через $v$, видим, что нужно посчитать $(v_1+a_1v)\wedge (v_2+a_2v)\wedge\dots\wedge (v_n+a_nv)$. Раскрывая скобки, получаем сумму $(1+\sum a_i^2)(v_1\wedge\dots\wedge v_n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лёгкий способ посчитать определитель
Сообщение15.04.2012, 20:09 


10/02/11
6786
возьмите вектор $a^i$ и ковектор $b_j$ рассмотрите оператор $c^i_j=a^ib_j+\delta^i_j$. Если ввести координаты в которых $a=(1,0\ldots,0)$ то легко видеть что $\det(c^i_j)=a^ib_i+1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Лёгкий способ посчитать определитель
Сообщение15.04.2012, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Да, конечно, существует.

1) Разделим каждый столбец на общий множитель ( $i$-й столбец на $a_i$)

2) Вычтем из всех столбцев первый столбец

3) Умножим каждую строку на общий множитель ( $i$-ую строку на $a_i$)

4) Добавим к первой строке сумму остальных

5) Определитель треугольной матрицы вычислим

 Профиль  
                  
 
 Re: Лёгкий способ посчитать определитель
Сообщение15.04.2012, 21:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9982
Москва
Определитель равен произведению собственных значений матрицы.
Рассмотрим сначала матрицу A-I. Очевидно, она имеет ранг 1, и её единственное ненулевое с.з. равно сумме квадратов $a_i$
У матрицы же A собственные значения все больше на единицу, то есть все кроме одного равны 1, а одно $1 + a_1^2 + \ldots + a_n^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Лёгкий способ посчитать определитель
Сообщение15.04.2012, 22:08 


15/01/09
549
apriv, Oleg Zubelevich, alcoholist, Евгений Машеров,
спасибо!

Не ожидал, что так много разных простых способов. Особенно понравился способ Евгения Машерова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лёгкий способ посчитать определитель
Сообщение17.04.2012, 08:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9982
Москва
Вдогонку:
А то, что (единственное ненулевое) собственное значение матрицы A-I равно $a_1^2 + \ldots + a_n^2$ следует из того, что сумма с.з. равна следу матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лёгкий способ посчитать определитель
Сообщение17.04.2012, 11:00 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
$A-I=\|\vec a\|^2P_{\vec a}$, где $P_{\vec a}$ -- это ортопроектор на $\vec a$. Ну а у ортопроектора известно, какие собственные векторы и, соотв., собственные числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лёгкий способ посчитать определитель
Сообщение17.04.2012, 18:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
красиво получается $\det{A}-\det{E}=\operatorname{Tr}{A}-\operatorname{Tr}{E}$

причем приведенное выше равенство инфинитезимально верно для любой матрицы:
$$
\det{(E+tB)}-\det{E}=\operatorname{Tr}{(E+tB)}-\operatorname{Tr}{E}+o(t)
$$
для любой матрицы $B$

 Профиль  
                  
 
 Re: Лёгкий способ посчитать определитель
Сообщение15.08.2012, 01:56 


09/06/12
137
Можно перейти к окаймлённому определителю, после чего из каждого i-го столбца, кроме последнего, вычесть последний, умноженный на $a_i$, а в полученном определителе к последней (n+1)-й строке прибавить каждую i-ю из первых n, умноженную на $a_i$:

$$ \det \begin{pmatrix} a_1^2+1 & a_1 a_2 & \cdots & a_1 a_n \\ a_2 a_1 & (a_2)^2 + 1 & \cdots & a_2 a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n a_1 & a_n a_2 & \cdots & (a_n)^2 + 1 \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} a_1^2+1 & a_1 a_2 & \cdots & a_1 a_n  & a_1 \\ a_2 a_1 & (a_2)^2 + 1 & \cdots & a_2 a_n & a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_n a_1 & a_n a_2 & \cdots & (a_n)^2 + 1 & a_n \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} = $$
$$ = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0  & a_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & a_n \\ -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_n & 1 \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0  & a_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & a_n \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 + a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2\end{pmatrix} = 1 + a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2.$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group