Нашел удивительно мало (того, что бы меня устраивало).
Литература:
1)
Берман Г.Н. — Циклоида (посмотрите внимательно: там есть ссылка на внешний сайт).
Также. Очень неплохой уровень. Но разбираются кривые, а не понятие длины кривой.
2) (сам не смотрел) Маркушевич А. И., Замечательные кривые, 2 изд., М. — Л., 1952; Савелов А. А., Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство), М., 1960; Пархоменко А. С., Что такое линия, М., 1954; Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969; Уокер А., Алгебраические кривые, пер. с англ., М., 1952; Loria G., Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven. Theorie und Geschichte, 2 Aufl., Bd 1—2, Lpz. — B., 1910—11.
Это список литературы с
этой странички. Об эпи- и гипоциклоидах там говорится в конце, и, по-моему, в формулах ошибки.
Интернет:
1) Википедия. Ну как же без нее, но очень уж кратко.
2)
Открытый колледж-математика: нас интересует глава стереометрии о
поверхности Шварца (7.6.). Она иллюстрирует проблему с определением длины кривой (точнее, почему нельзя площадь поверхности определять по аналогии с длиной кривой). Но заставляет задуматься, а почему, собственно, длину кривой можно?
~~~
Я думаю, Вам может быть интересно (особенно, если речь идет о кружке) посмотреть информацию о фракталах и размерности фракталов (например,
можно что-то почитать здесь). Идея состоит в том, что используя понятия фрактальной размерности (и фрактальной длины), можно получить обобщенное определение, работающее и для длины кривой, и для площади поверхности. Ну а за подробностями — Google в помощь (я искал
фрактал,
размерность).
~~~
В длине эпициклоиды ничего страшного нет (если не доказывать факта того, что эта длина существует, то есть, что эпициклоида
спрямляема). Но выкладки могут стать не хило многоэтажными. Поэтому вряд ли Вы их найдете. Я советую довольствоваться результатом, например длиной, проходимой точкой от касания до касания (длина лепестка; эта величина определена всегда, независимо от рациональности соотношения радиусов монет): в данном конкретном случае
(
— радиус внутренней монетки,
— катящейся). Переходя в этой формуле к пределу (при
, то есть увеличивая радиус внутренней монеты до бесконечности, «спрямляя» ее окружность), мы получаем формулу для длины циклоиды:
.
