мощность множества всех сходящихся у нулю последовательносте

[theambient]

Знатоки, не могу найти ответ на простенький вопрос объявленный в теме. Наведите на мысль как найти? Пока я даже не знаю чего хочу доказать: что оно счетно или несчетно.

Зафиксируем стандартные обозначения:
$c$ - все сходящиеся последовательности,
$c_0$ - сходящиеся к нулю последовательности.

Единственно до чего пока дошел - это то, что фактор-множество $c$ по отношению "имеют один и тот же предел" есть $R$, где все классы эквивалентности равномощны между собой и $c_0$ в частности, т.е, $c = c_0 \times \mathbb R$, но это не дает ничего! Только тривиальный факт, что $c_0$ не более континуума (позвольте мне не париться с КГ и считать что это первое кардинальное число после алеф-нуль, кстати, как его набирать? )

Это должно быть как-то просто...

[gris]

Возьмём одну такую последовательность с неравными членами, например, из обратных к натуральным. И возьмём все возможные бесконечные подпоследовательности. Они будут тоже сходится к нулю. А их множество равномощно ясно чему. То есть оценка снизу есть.

Наугад: $\aleph_0$? (Это про набор алеф-ноль)

[_hum_]

Может, стоит перестановки членов сходящихся к нулю последовательностей рассмотреть?

[Профессор Снэйп]

Член последовательности $x_n$ является произвольным числом от $1/2^n$ до $1/2^{n+1}$. Сколько таких последовательностей существует?

Континуум, конечно же континуум

[Oleg Zubelevich]

а разве у сепарабельного метрического пространства может быть мощность больше континума?

[Mathusic]

theambient в сообщении #605727 писал(а):

Только тривиальный факт, что $c_0$ не более континуума

Ну если так...
Если $\mathbf{a} \in c_0$, то $\alpha \mathbf{a} \in c_0$, значит континуума не менее
P.S. Уже наподсказывали

[theambient]

пасибо, в самом деле просто, надо было только взять оценку снизу.

Профессор Снэйп в сообщении #605766 писал(а):

Член последовательности является произвольным числом от до . Сколько таких последовательностей существует?

достаточно даже взять куда более просто устроенные последовательности:

$$x,\, 0, \, 0, \, 0, \, \ldots, x \in \mathbb R$$

Oleg Zubelevich в сообщении #605772 писал(а):

а разве у сепарабельного метрического пространства может быть мощность больше континума?

я стараюсь не задумываться о мощностях больше континуума =) если честно я недавно понял что и континуум себе плохо представляю, знание что $\mathbb R$ - континуально лишь знание и ... кажется, начал понимать греков =)))

иррациональные числа это лишь удобная форма записи последовательностей в $\mathbb Q$ без предела, даже по построению, что-то наподобие первого шага к нестандартному анализу о котором я знаю, что он только существует. Дальше континуума только хуже )

всем спасибо.

[Профессор Снэйп]

Если последовательности $\{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ сопоставить последовательность $\{ y_n \}_{n \in \mathbb{N}}$, где $y_n = (\arctg x_n)/n$, то получится биекция между множеством всех последовательностей и множеством стремящихся к нулю последовательностей, члены которых лежат в $(-\pi/2, \pi/2)$.

-- Вт авг 14, 2012 10:52:30 --

theambient в сообщении #605847 писал(а):

я стараюсь не задумываться о мощностях больше континуума =)

Это Вы зря.

[theambient]

Профессор Снэйп в сообщении #605890 писал(а):

theambient в сообщении #605847 писал(а):

я стараюсь не задумываться о мощностях больше континуума =)

Это Вы зря.

Глупый вопрос: почему? я, видимо, пока не ощутил необходимости в таких мощностях, по крайней мере не видел/не увидел их использования, что вовсе не означает что его нет.

Можете сказать, где они необходимы, скажем, в мат физике?

[Профессор Снэйп]

theambient в сообщении #605914 писал(а):

Можете сказать, где они необходимы, скажем, в мат физике?

В матфизике нигде. Ибо это недоматематика

Кстати, пространство обобщённых функций какую мощность имеет?

[svv]

Уже множество функций $[0,1]\to\{0,1\}$ мощнее континуума.
Или Вы не меня спрашивали?

[ewert]

svv в сообщении #605935 писал(а):

Уже множество функций $[0,1]\to\{0,1\}$ мощнее континуума.

Оно не содержится в множестве обобщённых функций.

[theambient]

все верно, и матфизика недоматематика (Снейп), так даже мой научный говорит, и я тоже - недоматематик =) и сверхконтинуальные мощности находятся даже в анализе (svv)

Но вопрос по существу был где можно почувствовать отличие $\aleph_1 == \mathrm c$ от $\aleph_2$?

Различие первых двух кардинальных чисел (в предположении КГ) я понимаю и даже можно сказать прочувствовал на себе (когда несколько дней лежал с $t \approx 40$ =)

[Toucan]

theambient в сообщении #605953 писал(а):

матфизика недоматематика (Снейп)

theambient, замечание за искажение ника.

[theambient]

еще один вопрос собственно ради которого и возник этот. Каков линейный базис в $c_0$. Очевидно он должен содержать счетный базис всех ортов из $c_{00}$.

Есть предположение, что это представители классов смежности по отношению эквивалентности $ x \equiv y \leftrightarrow x = \alpha y$.

правда опять же не удалось показать континуальность произвольного линейного базиса $c_0$ =(