Решить систему уравнений в явном виде

[maratrus]

Дана система 4-x уравнений в трехмерном кубе $[0, 1]^3$ для функций $u(x,y, z, t),\ v(x, y, z, t),\ w(x, y, z, t),\ p(x, y, z, t),$:

$u_t - \mu \Delta u = -p_x,$

$v_t - \mu \Delta v = -p_y,$

$u_x + v_y + w_z = 0,$

$p_z = F(x, y, z, t);$

Граничные условия:

$u_z = v_z = w = 0$ при $z = 0$

$u = v = 0, w = p_t$ при $z = 1$

$u = v = 0$ на боковой поверхности куба для любого $t$

Хочется построить явное решение этой системы для какого-либо случая. Можно ли подобрать такую функцию $F(x, y, z, t)$, для которой решение системы выписывалось бы в явном виде? В каком виде искать решения?

Я пробовал различные модификации тригонометрических функций, типа поиск решения в виде (и других подобных произведений):

$u = \alpha(t) \sin (\pi x) \sin (\pi y) \cos(\frac{\pi}{2} z)$

$v = \beta(t) \sin (\pi x) \sin (\pi y) \cos(\frac{\pi}{2} z)$,

далее $w(x, y, z, t)$ можно найти из уравнения $\operatorname{div} = u_x + v_y + w_z = 0$ плюс начального значения при $z = 0$. Потом значения функции $p$ находить из ограничения $p_z = F$ и значения $w$ при $z = 1$. Однако, мои попытки не увенчались успехом.

P.S. Может быть, вы встречали нечто похожее (особенность системы в граничном условии $w = p_t$ при $z = 1$) в литературе, статьях? "Варюсь в собственном соку" довольно долго, а особо никуда не продвинулся.

Заранее благодарю за помощь.

-- 13.08.2012, 16:23 --

Немного дополнительной информации:
Добрый пользователь mazay на форуме МГУ посоветовал сначала исследовать систему с изменненными граничными условиями на боковой поверхности куба (так как встречал нечто подобное в статье), однако удовлетворить всем граничным условиям всё равно не получается:
$u = 0, \frac{\partial v}{\partial x} = 0$ при $x = 0, 1$
$v = 0, \frac{\partial u}{\partial y} = 0$ при $y = 0, 1$

Подробности смотреть на форуме МГУ