Решите нестандартную задачу по матану

[PallMall]

существует "a" такое что f''(x)>=a;
доказать что существует такая независимая константа "с", что интеграл от b до d от ф-ции sin(f(x)) по dx меньше чем c/(a^1/2).

[Gordmit]

А что тут доказывать и что тут нестандартного:

$$\int\limits_b^d \sin(f(x))\,dx\leqslant d-b$$

, и можно взять любое $c>(d-b)\sqrt{a}$.
Что значит независимая константа? Мне кажется, что условия нужно сформулировать как-нибудь получше.

[RIP]

Я думаю, что "независимая" означает "абсолютная". Например, легко показать, что можно взять $c=8$.

[нг]

перемещаю

[RIP]

Вот набросок док-ва, который легко превратить в док-во. Поскольку $f''(x)\geqslant a>0$, то $f'(x)$ возрастает. Пусть найдётся такое $e\in(b;d)$, что $f'(e)=0$ (если не найдётся --- нам же лучше).

$$\int_b^d\sin f(x)\,dx=\int_b^e\sin f(x)\,dx+\int_e^d\sin f(x)\,dx.$$

Оба интеграла справа оцениваются одинаково, поэтому оценим второй.

$$\int_e^d\sin f(x)\,dx=\int_e^g\sin f(x)\,dx+\int_g^d\sin f(x)\,dx,$$

где $g=e+2/\sqrt a$ (если $d<e+2/\sqrt a$, то опять же нам же лучше). Первый интеграл по модулю не превосходит $2/\sqrt a$.

$$\int_g^d\sin f(x)\,dx=-\int_g^d\frac{d\cos f(x)}{f'(x)}=-\left.\frac{\cos f(x)}{f'(x)}\right|_{x=g}^{d}+\int_g^d\cos f(x)\,d\left(\frac1{f'(x)}\right).$$

Поскольку на отрезке $[g;d]\quad f'(x)\geqslant a(g-e)=2\sqrt a$, то

$$\left|\int_g^d\sin f(x)\,dx\right|\leqslant\frac2{2\sqrt a}+\int_g^d\left|d\left(\frac1{f'(x)}\right)\right|=1/\sqrt a-\left.\frac1{f'(x)}\right|_{x=g}^d\leqslant2/\sqrt a.$$

В конечном итоге имеем

$$\left|\int_b^d\sin f(x)\,dx\right|\leqslant8/\sqrt a.$$

P.S. На самом деле можно доказать даже больше, что

$$\left|\int_b^de^{if(x)}\,dx\right|\leqslant8/\sqrt a$$

(докво дословно), причём ясно, что на самом деле имеет место строгое нерво.

Если мне не изменяет склероз, то это называется леммой Ван дер Корпута.

[PallMall]

большое спасибо RIP