Нестандартный анализ Робинсона

[Gandalf]

Главная моя претензия к нестандартному анализу Робинсона состоит в том, что его бесконечно малые (большие) числа нарушают аксиому Архимеда, но не нарушают принцип Дедекинда, хотя он является эквивалентом этой аксиомы. А именно, строение гипердействительной прямой, приводимое в книге Успенского «Что такое нестандартный анализ?», таково, что два класса чисел, определенных так, как это делается в принципе Дедекинда (1 – каждое число принадлежит только одному классу и каждый класс содержит числа; 2 – каждое число первого класса меньше каждого числа второго класса), всегда можно отделить друг от друга, тогда как нарушение этого принципа предполагает неотделимость этих классов. Более того, нарушение бесконечно малыми (большими) числами Робинсона аксиомы Архимеда определяется как-то странно – не относительно самих этих чисел, а относительно действительных чисел:

$e_1 + e_2 + … + e_n < 1_d$ ($e_n$ - бесконечно малые числа; $1_d$ – действительная единица).

Это приводит к тому, что выражение $e^0 = 1_d$ противоречит определению бесконечно малых чисел $e^0 < 1_d$ (если множество этих чисел является упорядоченным полем, то любая степень $e^n$, кроме бесконечной, должна давать те же бесконечно малые числа). А это уже позволяет сомневаться в законности выражений $e^{-1} = \frac {1_d} e; e \times 1_d = e; \frac e e = 1_d; e + 0_d = e; e - e = 0_d $.

Правда все эти возражения можно отнести только к книге Успенского «Что такое нестандартный анализ?». Возможно, что в оригинальной работе Робинсона эта проблема как-то решается. Но вот что я нашел в «Справочной книге по математической логике» Дж. Барвайса (т. 1 «Теория моделей»):

$e > \frac d A ; A > \frac d e$ (d – действительное число, A – бесконечно большое число)

Насколько я понял, это формулировка аксиомы Архимеда для бесконечно малых и бесконечно больших чисел из оригинальной работы Робинсона. Она вполне соответствует аналогичной формулировке для действительных чисел:

$n \times d_1 > d_2 ; d_1 > \frac {d_2} n$ (n – натуральное число)

Поскольку $\frac d A$ является бесконечно малым числом, а $\frac d e$ - бесконечно большим, то ясно, что аксиома Архимеда в множествах бесконечно малых и бесконечно больших чисел выполняется. Остается, правда, сомнение в законности использования действительных чисел в этих формулах, а значит и в законности выражений $e^0 = 1_d; e^{-1} = \frac {1_d} e; e \times 1_d = e; \frac e e = 1_d; e + 0_d = e; e - e = 0_d$.

Но все это переворачивается вверх головой, когда выражения $e > \frac d A$ и $A > \frac d e$ мы объединяем в одно:

$A \times e > d$

Оно означает, что произведение бесконечно больших и бесконечно малых чисел тоже сравнимо с действительными числами! Лично у меня это в голове не укладывается. Полагаю, что именно это узаконивает выражения $e^0 = 1_d; e^{-1} = \frac {1_d} e; e \times 1_d = e; \frac e e = 1_d; e + 0_d = e; e - e = 0_d$ в нестандартном анализе Робинсона, хотя доказать это я не берусь.

Что касается моей поправки к этому анализу, то я всего лишь предположил, что бесконечно малые числа меньше действительного нуля:

$e < 0_d$

но не в смысле отрицательности их величины, а в том, что меньше нуля любые конечные суммы этих чисел. Только бесконечная сумма этих чисел дает действительный ноль:

$e_1 + e_2 + … = 0_d$

То есть это не расширение множества действительных чисел, а совершенно новое множество чисел, оперирование которыми никак не затрагивает действительные числа.
То же самое можно сказать о бесконечно больших числах – эти числа больше действительной бесконечности, с которой совпадает только ноль этих чисел:

$X > \infty_d; 0_\infty = \infty_d$ (X - бесконечно большое число; $\infty_d$ – действительная бесконечность; $0_\infty$ – «бесконечно большой» ноль)

На этом я, разумеется, не остановился и попробовал разобраться, какие именно «числа» могли бы непротиворечиво нарушать аксиому Архимеда и принцип Дедекинда. Этот путь привел меня к отрицанию аксиомы выбора в формулировке Цермело. Подробности в моей статье:

http://magicpeace.narod.ru/rod/mathem.doc

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Причина переноса: отсутствует внятная и четкая формулировка обсуждаемого вопроса.

Forum Administration в Правилах форума писал(а):

1. Общие вопросы формулировки и оформления тем
Не путайте форум со своим личным сайтом или блогом. Наш форум - это не трибуна, а место для обсуждений. Начальные сообщения любой темы должны четко и внятно формулировать предмет или вопрос, который предполагается обсудить. В противном случае тема будет закрыта или перемещена в карантин до уточнения предмета.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

[Someone]

Gandalf в сообщении #603844 писал(а):

Главная моя претензия к нестандартному анализу Робинсона состоит в том, что его бесконечно малые (большие) числа нарушают аксиому Архимеда, но не нарушают принцип Дедекинда, хотя он является эквивалентом этой аксиомы.

Совершенная чушь. Аксиома Дедекинда утверждает, что множество действительных (или гипердействительных) чисел является полным. К аксиоме Архимеда это не имеет ни малейшего отношения.

Gandalf в сообщении #603844 писал(а):

Более того, нарушение бесконечно малыми (большими) числами Робинсона аксиомы Архимеда определяется как-то странно – не относительно самих этих чисел, а относительно действительных чисел:

А как это определить "относительно самих этих чисел"?

Gandalf в сообщении #603844 писал(а):

Это приводит к тому, что выражение $e^0 = 1_d$ противоречит определению бесконечно малых чисел $e^0 < 1_d$ (если множество этих чисел является упорядоченным полем, то любая степень $e^n$, кроме бесконечной, должна давать те же бесконечно малые числа).

А Вы вообще знаете определение степени с целым показателем? Сформулируйте его, пожалуйста.
И с чего Вы взяли, что множество бесконечно малых гипердействительных чисел является упорядоченным полем?

Вообще, конечно, пишете безграмотный бред.

[Munin]

(Оффтоп)

Gandalf в сообщении #604629 писал(а):

А может это потому, что я вставлял текст в форму из ворда?...

Именно поэтому. Ворд делает множество автозамен, в том числе минус - на тире.

[Gandalf]

Someone в сообщении #604695 писал(а):

Совершенная чушь. Аксиома Дедекинда утверждает, что множество действительных (или гипердействительных) чисел является полным. К аксиоме Архимеда это не имеет ни малейшего отношения.

Ефимов Н.В. "Высшая геометрия", глава 2 раздел 7 "Аксиомы непрерывности", с. 72 - М.: "Наука", 1974 г.

Someone в сообщении #604695 писал(а):

А как это определить "относительно самих этих чисел"?

Внутри только их собственного множества, без сопоставления с действительными числами.

Someone в сообщении #604695 писал(а):

И с чего Вы взяли, что множество бесконечно малых гипердействительных чисел является упорядоченным полем?

Успенский В.А. "Что такое нестандартный анализ?" - М.: "Наука", 1987 г. В своей статье я давал все ссылки.

[Someone]

Gandalf в сообщении #605192 писал(а):

Ефимов Н.В. "Высшая геометрия", глава 2 раздел 7 "Аксиомы непрерывности", с. 72 - М.: "Наука", 1974 г.

И что? Из аксиомы полноты следует аксиома Архимеда. Обратное очевидным образом не следует. Например, поле рациональных чисел архимедово, но не полное.

А кто Вам, собственно говоря, сказал, что поле гипердействительных чисел является полным?

Gandalf в сообщении #605192 писал(а):

Внутри только их собственного множества, без сопоставления с действительными числами.

Сформулируйте определение, пожалуйста.

Gandalf в сообщении #605192 писал(а):

Успенский В.А. "Что такое нестандартный анализ?" - М.: "Наука", 1987 г. В своей статье я давал все ссылки.

И где именно там написано, что множество бесконечно малых гипердействительных чисел является полем?

Вообще, странное утверждение. Поле по определению содержит единицу. Единица не является бесконечно малым числом, поэтому не принадлежит множеству бесконечно малых гипердействительных чисел. Поэтому указанное множество никак не может быть полем.

[Gandalf]

Someone в сообщении #605198 писал(а):

И что? Из аксиомы полноты следует аксиома Архимеда. Обратное очевидным образом не следует. Например, поле рациональных чисел архимедово, но не полное.

У Ефимова говорится, что из принципа Дедекинда следует аксиома Архимеда и аксиома Кантора и обратно, из аксиом Архимеда и Кантора следует принцип Дедекинда. Все они выполняются для действительных чисел. Я посчитал, что раз бесконечно малые Робинсона нарушают аксиому Архимеда, то должны в какой-то мере нарушать и принцип Дедекинда. Но я, кажется, понял, о чем вы говорите:

Someone в сообщении #605198 писал(а):

И где именно там написано, что множество бесконечно малых гипердействительных чисел является полем?

Вообще, странное утверждение. Поле по определению содержит единицу. Единица не является бесконечно малым числом, поэтому не принадлежит множеству бесконечно малых гипердействительных чисел. Поэтому указанное множество никак не может быть полем.

К своему стыду обнаружил, что невнимательно прочел книгу Успенского. Вы правы, он нигде не говорит, что множество бесконечно малых чисел Робинсона является упорядоченным полем, он говорит только о том, что таким полем является множество действительных чисел и множество гипердействительных чисел. (Нужно будет поправить статью). Но это не отменяет моих претензий к нестандартному анализу Робинсона. К примеру, я обнаружил, что зря прицепился к одной лишь действительной единице, поскольку выражения

$\frac {e_1} {e_2} = 2_d; \frac {e_1} {e_2} = 2,5_d; \frac {e_1} {e_2} = 2,5..._d; и вообще \frac {e_1} {e_2} = d;$

не менее законны, чем выражения

$e^{-1} = \frac {1_d} e; e \times 1_d = e; \frac e e = 1_d; e + 0_d = e; e - e = 0_d $

особенно с учетом того, что в анализе Робинсона законны выражения

$2_d \times e_1 = e_2; 2,5_d \times e_1 = e_3; 2,5..._d \times e_1 = e_4; d \times e_1 = e_n$

которые являются обратными для первых. С моей точки зрения это означает, что бесконечно малые числа Робинсона сравнимы по величине только с помощью действительных чисел. Бесконечно малый остаток от такого деления уже не сравним с другими такими же остатками. Можно, конечно делить эти остатки и дальше, получая соответствующее стандартное частное, но закончить это деление невозможно, поскольку множество бесконечно малых чисел бесконечно. А если специально вводить порядок (сравнение величин) в этом множестве (Успенский что-то подобное делает при построении множества гипердействительных чисел с помощью нетривиального ультрафильтра), то тут же возникают бесконечно малые аналоги всех действительных чисел, в том числе действительного нуля и действительной единицы. Поэтому мой вопрос остается прежним - какая единица и какой ноль фигурируют в выражениях -

$e^{-1} = \frac {1_d} e; e \times 1_d = e; \frac e e = 1_d; e + 0_d = e; e - e = 0_d $

- собственная единица и ноль бесконечно малых чисел или действительная единица и ноль? Если это действительная единица и действительный ноль, то согласен, множество бесконечно малых чисел Робинсона не является упорядоченным полем. Но тогда в этом множестве нельзя вводить никакое другое сравнение величин, кроме указанного выше. Если же вводить сравнение, подобное сравнению действительных чисел, то становятся противоречивыми выражения

$e^{-1} = \frac {1_d} e; e \times 1_d = e; \frac e e = 1_d; e + 0_d = e; e - e = 0_d $

[Someone]

Gandalf в сообщении #605615 писал(а):

У Ефимова говорится, что ... из аксиом Архимеда и Кантора следует принцип Дедекинда.

Дык, из двух аксиом, а не из одной (на самом деле, нужны и другие аксиомы геометрии). А из одной аксиомы Архимеда аксиома Дедекинда никак не следует. Я же Вам пример показал. А Вы говорите

Gandalf в сообщении #603844 писал(а):

Главная моя претензия к нестандартному анализу Робинсона состоит в том, что его бесконечно малые (большие) числа нарушают аксиому Архимеда, но не нарушают принцип Дедекинда, хотя он является эквивалентом этой аксиомы.

А вообще, чего Вы к геометрии прицепились? Нужно взять систему аксиом поля действительных чисел и геометрию сюда не путать. В геометрии множество своих собственных технических деталей, без которых можно было бы обойтись.

Gandalf в сообщении #605615 писал(а):

Но это не отменяет моих претензий к нестандартному анализу Робинсона.

Вы не ответили на мои вопросы. Между тем, Ваша "главная претензия" совершенно абсурдна: поле гипердействительных чисел не удовлетворяет аксиоме Дедекинда.

[Munin]

Someone в сообщении #605622 писал(а):

А вообще, чего Вы к геометрии прицепились?

Часто это бывает оттого, что другого учебника у человека просто нет.

[Gandalf]

Someone в сообщении #605622 писал(а):

...Я же Вам пример показал...

...Например, поле рациональных чисел архимедово, но не полное.

То есть поле рациональных чисел может быть архимедовым, но не дедекиндовым и наоборот, поле гипердействительных чисел может быть неархимедовым, но дедекиндовым. С первым я еще могу согласиться, но со вторым - нет. По крайней мере, пока вы не дадите ссылку на литературу, где это доказывается. Потому что содержание моей статьи шире опровержения нестандартного анализа Робинсона. Возможно, мне вообще не следовало начинать с его опровержения и следовало сразу начинать с описания моей модели, альтернативной этому анализу.

Someone в сообщении #605622 писал(а):

...Ваша "главная претензия" совершенно абсурдна: поле гипердействительных чисел не удовлетворяет аксиоме Дедекинда.

Я не говорил, что не удовлетворяет, я говорил о том, что не должно удовлетворять. И вообще, не требуйте от меня соответствовать вашим требованиям к уровню дискуссии. В своей статье я постоянно оговариваюсь, что являюсь дилетантом и мне не хватает знаний, чтобы правильно сформулировать тот или иной вопрос. Если вы считаете, что этот форум только для профессионалов, то я могу только откланяться и попросить админов закрыть эту тему.

Someone в сообщении #605622 писал(а):

Вы не ответили на мои вопросы...

Я не ответил на них потому, что админы запрещают приведение более трех цитат, а ваши вопросы я не посчитал первостепенными.

[Someone]

Gandalf в сообщении #605963 писал(а):

наоборот, поле гипердействительных чисел может быть неархимедовым, но дедекиндовым

Какой дурак сказал Вам, что поле гипердействительных чисел удовлетворяет аксиоме Дедекинда? Извините, выражаюсь грубо, потому что уже один раз писал, что

Someone в сообщении #605622 писал(а):

Ваша "главная претензия" совершенно абсурдна: поле гипердействительных чисел не удовлетворяет аксиоме Дедекинда.

Если Вы сами не можете понять, почему, то я объясню: потому что из аксиомы Дедекинда следует аксиома Архимеда, а она не выполняется. Если следствие некоторого утверждения ложно, то и само это утверждение ложно.
Если нужно, могу привести и пример ограниченного множества гипердействительных чисел, которое не имеет точной верхней грани: это множество $I_+$ неотрицательных бесконечно малых чисел.

Gandalf в сообщении #605963 писал(а):

Я не говорил, что не удовлетворяет

Зато я это говорил, и могу это доказать.

Gandalf в сообщении #605963 писал(а):

И вообще, не требуйте от меня соответствовать вашим требованиям к уровню дискуссии.

В таком случае модератор отправит тему в "Пургаторий". И вообще, если Вы не в состоянии вести дискуссию на должном уровне, не следует сочинять статьи и затевать дискуссии на форуме, где Вы имеете дело со специалистами. Ограничивайтесь обсуждением с женой на кухне.

Gandalf в сообщении #605963 писал(а):

Если вы считаете, что этот форум только для профессионалов, то я могу только откланяться и попросить админов закрыть эту тему.

Этот форум не только для профессионалов, но общее требование состоит в том, что человек, выступающий с некоторыми утверждениями, должен уметь их обосновывать.

Gandalf в сообщении #605963 писал(а):

Я не ответил на них потому, что админы запрещают приведение более трех цитат

Никто не запрещает больше трёх цитат. Запрещены вложенные цитаты более третьего уровня. Есть общее ограничение на объём сообщения (если не ошибаюсь, 20000 символов).

Gandalf в сообщении #605963 писал(а):

ваши вопросы я не посчитал первостепенными

По правилам дискуссионных разделов форума, авторы альтернативных теорий обязаны отвечать на заданные им вопросы, если эти вопросы касаются обсуждаемой темы. Причём, отвечать по существу, а не отговариваться. Что касается "первостепенности", то, прежде чем кто-то из специалистов будет воспринимать Вас сколько-нибудь всерьёз, ему надо убедиться, что Вы хотя бы понимаете, о чём говорите. У меня пока такого впечатления нет. Более того, характер Ваших утверждений таков, что, скорее всего, Вы не понимаете, о чём говорите. Например:

Gandalf в сообщении #603844 писал(а):

Что касается моей поправки к этому анализу, то я всего лишь предположил, что бесконечно малые числа меньше действительного нуля:

$e < 0_d$

но не в смысле отрицательности их величины, а в том, что меньше нуля любые конечные суммы этих чисел.

По определению элемент упорядоченного поля называется отрицательным, если он меньше нуля. Впрочем, определение может быть другим, это зависит от способа введения отношения порядка, но в любом случае неравенство $a<0$ означает, что элемент $a$ отрицательный. И вообще, Ваши первое и третье сообщения - набор глупостей.

-- Вт авг 14, 2012 15:27:58 --

Gandalf писал(а):

Нашлись добрые люди, которые не только объяснили мне разницу между числом и формой его записи...

Кстати, если, вместо того, чтобы безапелляционным тоном излагать здесь всевозможные глупости и утверждать, что профессиональные математики - поголовно такие идиоты, что за 50 лет не могли в этом разобраться, Вы будете задавать разумные вопросы, то Вам постараются на них ответить.

[Gandalf]

Someone в сообщении #605995 писал(а):

В таком случае модератор отправит тему в "Пургаторий".

Отправляйте. Хотя я бы предпочел удаление темы. Спасибо за разъяснения.

[Gandalf]

Поскольку удаления в Пургаторий не последовало, рискну еще раз нарушить правила. Даю ссылки на продолжение моей статьи, определившей заглавие темы:
[deleted]

[Deggial]

Gandalf, предупреждение за осознанное нарушение правил форума, за размещение ссылок с саморекламой!

правила форума писал(а):

5.1. По возможности следует избегать использования внешних ссылок, а включать всю необходимую информацию в текст сообщений. Безусловно запрещены (без явного согласования с администрацией) ссылки рекламного характера, в том числе реклама себя и своих достижений.