куда сдвинуть?

[Женисбек]

Пусть
$f_n(x)=(n+\sqrt{n}x)\ln\left(1+\frac{x}{\sqrt{n}}\right)+(n-\sqrt{n}x)\ln\left(1-\frac{x}{\sqrt{n}}\right)$
$A_n=\{x\in\mathbb{R}:\ f_n(x)\le1\}$

Поскольку $f_n(x)\to x^2,\ n\to+\infty$, интуиция подсказывает, что $A_n$ должны "сходиться" к $[-1,1]$. Так оно и есть и более того, можно показать, что если представить $A_n=[\alpha_n, \beta_n]$, и взять $\gamma_n=\frac{\alpha_n+\beta_n}{2}$ (центр $A_n$), то
$A_n\subset\left[-1+\gamma_n, 1+\gamma_n\right]$,

Т.е. если построить сегмент длины 2, сдвинутый на $\gamma_n$, то полученный сегмент полностью покроет $A_n$.

Теперь я хочу обобщить это на двумерный случай. Пусть
$g_n(x,y)=(n+\sqrt{n}x)\ln\left(1+\frac{x}{\sqrt{n}}\right)+(n+\sqrt{n}y)\ln\left(1+\frac{y}{\sqrt{n}}\right)$
$+(n-\sqrt{n}(x+y))\ln\left(1-\frac{x+y}{\sqrt{n}}\right)$
$B_n=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ g_n(x,y)\le1\}$

В этом случае $g_n(x,y)\to x^2+xy+y^2$, и $B_n$ "сходятся" к эллипсу $B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x^2+xy+y^2\le1\}$.

И я никак не пойму
1) где центры у множеств $B_n$?
2) куда можно сдвинуть $B$, чтобы оно покрывало $B_n$?