Нормированное ТВП

[xmaister]

Добрый день! Пусть $X$- ТВП, в котором существует выпуклая уравновешенная ограниченная окрестность нуля $U$. Доказываю, что функционал Минковского $\mu_U=\|x\|$ множества $U$- норма, совместная с топологией на $X$. Рассматриваю шар $B_{\frac{1}{n}}(0)=\left\{x|\|x\|<\frac{1}{n}\right\}$, тогда для произвольного $y\in B_{\frac{1}{n}}(0)$ рассмотрим $z\in y+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\|y\|\right)U$, откуда $\|z\|=\|y+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\|y\|\right)u\|\le\frac{1}{2}\|y\|+\frac{1}{2n}<\frac{1}{n}$. Значит открытые шары открыты в $X$. Пусть теперь $x\in \frac{1}{n}U$. Рассмотрим $x+B_{\frac{1}{3n}-\frac{\|x\|}{3}}(0)$, тогда для любого $y\in x+B_{\frac{1}{3n}-\frac{\|x\|}{3}}(0)$ будем иметь $\|y\|\le\|x\|+\frac{1}{3n}-\frac{\|x\|}{3}<\frac{1}{n}$. Значит эти топологии совместны. Мне непонятно следующее: В книге сказано, что из определения функционала Минковского и того, что $U$- открыто вытекает, что $rU=\{x|\|x\|<r\}$. Я не понимаю, как это вытекает. Помогите разобраться.

[Oleg Zubelevich]

xmaister в сообщении #604184 писал(а):

Пусть $X$- ТВП, в котором существует выпуклая уравновешенная ограниченная окрестность нуля $U$. Доказываю, что функционал Минковского $\mu_U=\|x\|$ множества $U$- норма,

доказательство того, что функционал Минковского любого абсолютно выпуклого поглощающего множества является полунормой есть в любом учебнике. То что окресность нуля поглощает -- следует из непрерывности функции $\lambda\mapsto \lambda x$. Зачем нужна ограниченность догадаетесь.

[xmaister]

Oleg Zubelevich в сообщении #604243 писал(а):

функционал Минковского любого абсолютно выпуклого поглощающего множества является полунормой есть в любом учебнике.

Да, это я умею доказывать и это

Oleg Zubelevich в сообщении #604243 писал(а):

окресность нуля поглощает -- следует из непрерывности функции $\lambda\mapsto \lambda x$

тоже я понимаю. Меня интересует другое: Пусть $X$- ТВП, содержащее выпуклую, ограниченную окрестность нуля $W$. Значит существует абсолютно выпуклая ограниченная окрестность нуля $U\subset W$. То, что $\mu_U(x)$ обладает свойствами нормы я проверил. Совместность этой нормы с исходной топологией на $X$ тоже (в первом сообщении, надеюсь, что верно). Я следующего не пойму:

Цитата:

Из определения функционала Минковского и того факта, что $U$ открыто, вытекает, что

$$\{x:\|x\|<r\}=rU$$

. Как вытекает? Достаточно показать, что $U=\{x|\|x\|<1\}$. То что $\|x\|<1\Rightarrow x\in U$- очевидно. Пусть $x\in U$, если $\|x\|=1$, то что будет? Туплю уже весь день.

[Oleg Zubelevich]

Докажите, что $ \{x\mid \mu_U(x)<1\}\subseteq U\subseteq \{x\mid \mu_U(x)\le 1\}$. (Это всегда так для абсолютно выпуклого поглощающего множества).
Потом докажите, что раз $U$ открыто то там первое включение -- это на самом деле равенство.
Предположим там нет равенства, значит существует $a\in U,\quad \mu_U(a)=1$, при этом имеется и окрестность $a$ принадлежащая $U$ т.е. при достаточно малом $\lambda>0$ будет $\mu_U(a+\lambda a)\le 1$. Противоречие

[xmaister]

Oleg Zubelevich в сообщении #604260 писал(а):

будет $\mu_U(a+\lambda a)\le 1$. Противоречие

Теперь понятно, спасибо!