Функциональное неравенство, только что сама придумала

[Ktina]

Найти все такие функции $f:\mathbb R\to\mathbb R$, что

$$\forall x,y\in \mathbb R:\quad |f(x)-f(y)|\le (x-y)^2$$

и доказать, что других нет.

[ewert]

Чему равна производная этой функции?...

[Ktina]

ewert в сообщении #604058 писал(а):

Чему равна производная этой функции?...

Функция не обязательно дифференцируема.

[ewert]

Ktina в сообщении #604059 писал(а):

Функция не обязательно дифференцируема.

Обязательно.

[Ktina]

ewert в сообщении #604060 писал(а):

Ktina в сообщении #604059 писал(а):

Функция не обязательно дифференцируема.

Обязательно.

Вы правы, я не так выразилась.
Я имела в виду, что в условии не сказано, что функция дифференцируема.
Во всяком случае, существует школьное решение "без МАТАНа".

[ewert]

Ktina в сообщении #604061 писал(а):

Во всяком случае, существует школьное решение "без МАТАНа".

Возможно; но оно наверняка сведётся к некоторому кустарному доказательству аналога теоремы Лагранжа.

[Ktina]

ewert в сообщении #604062 писал(а):

Ktina в сообщении #604061 писал(а):

Во всяком случае, существует школьное решение "без МАТАНа".

Возможно; но оно наверняка сведётся к некоторому кустарному доказательству аналога теоремы Лагранжа.

Вот эта самая теорема?

Но там написано "если функция... дифференцируема". Стало быть, сперва всё равно придётся доказать факт дифференцируемости. В школьном же решении этого не требуется.

[Vince Diesel]

Разобьем отрезок $[x,y]$ на $n$ частей. Для каждой применим оценку. Устремим $n$ к бесконечности.

[Ktina]

Vince Diesel в сообщении #604068 писал(а):

Разобьем отрезок $[x,y]$ на $n$ частей. Для каждой применим оценку. Устремим $n$ к бесконечности.

Оно самое

Все постоянные функции удовлетворяют условию.
Пусть нашлась непостоянная функция, также удовлетворяющая условию. Тогда найдутся такие не равные друг другу $x$ и $y$, что $|f(x)-f(y)|>0$
А дальше уже так, как Вы сказали. И придём к противоречию.

[Mathusic]

Ktina в сообщении #604064 писал(а):

Но там написано "если функция... дифференцируема". Стало быть, сперва всё равно придётся доказать факт дифференцируемости.

Вот отсюда, например ещё, $0 \leqslant \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \leqslant |\Delta x|$ сразу следует, что $f$ - дифференцируема, и что $f' \equiv 0.$

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #604061 писал(а):

Во всяком случае, существует школьное решение "без МАТАНа".

Vince Diesel в сообщении #604068 писал(а):

Устремим $n$ к бесконечности.

Ktina в сообщении #604069 писал(а):

Оно самое

Ну-ну

[Tanechka]

[Mathusic]

(Оффтоп)

Tanechka, так Ktina -- автор этой книжки что ли?

Ну д-во по сути такое же, как и у ТС. Только тут ещё плохо то, что о пределе они вообще не говорят. Хотя он нужен.