Поворот в н-мерном пространстве

[leciel]

Возникла необходимость найти матрицу поворота в н-мерном пространстве. Поворот должен быть такой, чтобы центральная ось (например, в 3-х мерном пр-ве (1, 1, 1) перешла в (0, 0, 1), и соответственно плоскость перпендикулярная оси (1, 1, 1) стала плоскостью перпендикулярной оси (0, 0, 1) или параллельна пл-ти (x, y, 0)).
По идее, эта результирующая матрица, должна быть произведением матриц простых поворотов (вокруг одной оси), на подобии
|а –а 0 |
|а а 0 |
|0 0 1 |
Где а = $\frac 1 {\sqrt{2}}$ Т.е. поворот вокруг оси Ox на 45 градусов, далее поворот вокруг Oz на 45 градусов, ну и т.д.

Но почему-то таким путем, мне не удалось найти результирующую матрицу. Стал искать методом от обратного (зная какой вид должна иметь результирующая матрица).
И для 3-х мерного случая нашел:
| 1 0 -1 |
| $\frac 1 {\sqrt{3}}$ $\frac {-2} {\sqrt{3}}$ $\frac 1 {\sqrt{3}}$ |
| $\sqrt{ \frac 2 3} $\sqrt{ \frac 2 3} $\sqrt{ \frac 2 3} |
( матрицы в примерах math не нашел)
И для 4-х мерного:
| -a a a -a |
| -a a -a a |
| a a -a -a |
| a a a a |
Где а = $\frac 1 {\sqrt{4}}$
Правильны ли эти матрицы? Т.е. удовлетворяют ли они поставленной задаче? И как найти матрицу для 6-ти мерного случая, т.к. исходно нужна была именно для 6? И почему матрицы для 3-х и для 4-х мерных случаев, не описывается произведением матриц простых поворотов (вокруг одной оси)?
Был бы очень благодарен, если кто поможет разобраться в этом.
Заранее большое спасибо.

[PAV]

PAV:

Перепишите формулы с использованием тега math

[RIP]

Может, это поможет?
Берем, например, систему векторов $(1,1,\ldots,1)^T, e_n,e_{n-1},\ldots,e_2$. Применяем к ней процесс ортогонализации Грама-Шмидта. В итоге получим ортонормированный базис $v_1=\frac1{\sqrt n}(1,1,\ldots,1)^T,v_2,\ldots$. В базисе $v_1,v_2,\ldots,v_n$ матрица искомого поворота должна писаться легко (поворот происходит в плоскости векторов $v_1$ и $v_2$, а $v_3,v_4,\ldots,v_n$ остаются неизменными). Матрица перехода от базиса $v_i$ к базису $e_i$ почти вычислена в Граме-Шмидте (там слегка другой базис, но от него перейти к $e_i$ совсем просто). Эта матрица ортогональная, поэтому обратная для неё находится просто. Теперь надо вспомнить, как меняется матрица оператора при замене базиса.
Не знаю, может, можно как-нить попроще.

[Александр Т.]

leciel писал(а):

Возникла необходимость найти матрицу поворота в н-мерном пространстве. Поворот должен быть такой, чтобы центральная ось (например, в 3-х мерном пр-ве (1, 1, 1) перешла в (0, 0, 1), и соответственно плоскость перпендикулярная оси (1, 1, 1) стала плоскостью перпендикулярной оси (0, 0, 1) или параллельна пл-ти (x, y, 0)).

Этот поворот можно осуществить при помощи умножения слева вектора-строки на матрицу, представляющую собой произведение $n-1$ матриц ($n$ --- размерность пространства)

\[ \left\| \begin{array}{ccccc} a_1&b_1&0&\ldots&0\\ -b_1&a_1&0&\ldots&0\\ 0&0&1&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\ldots&1\\ \end{array} \right\| \left\| \begin{array}{ccccc} 1&0&0&\ldots&0\\ 0&a_2&b_2&\ldots&0\\ 0&-b_2&a_2&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\ldots&1\\ \end{array} \right\| \dots \left\| \begin{array}{ccccc} 1&\ldots&0&0&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&\ldots&1&0&0\\ 0&\ldots&0&a_{n-1}&b_{n-1}\\ 0&\ldots&0&-b_{n-1}&a_{n-1}\\ \end{array} \right\| \]

(если для идентификации точки пространства используется вектор-столбец, то его нужно умножать справа на результат транспонирования этой матрицы). Здесь $b_k=\sqrt{1-a_k^2}$, $a_k=1/\sqrt{k+1}$, $k=1,2,\dots,n-1$.

leciel писал(а):

И как найти матрицу для 6-ти мерного случая, т.к. исходно нужна была именно для 6?

Для 6-мерного пространства умножение 5 матриц можно произвести при помощи maple или mathematica.