множители Лагранжа

[Oleg Zubelevich]

$X,Y$ -- линейные пространства над $\mathbb{R}$.
Имеются три билинейные формы $f,f_1,f_2:X\times Y\to\mathbb{R}$.

Доказать сдедующее утверждение.

Утв. Предположим, что для всякого $n$ и всяких $x_k,y_k$ для которых справедливы равенства $\sum_{k=1}^nf_1(x_k,y_k)=\sum_{k=1}^nf_2(x_k,y_k)=0$, выполнено и $\sum_{k=1}^nf(x_k,y_k)=0$.

Тогда существуют числа $\lambda_1,\lambda_2$ такие, что $f=\lambda_1 f_1+\lambda_2 f_2.$

[Oleg Zubelevich]

странно, что на задачу не отреагировали участники беседы про тензорное произведение

[Oleg Zubelevich]

Задача. $X,Y$ -- линейные пространства над $\mathbb{R}$. Имеются три билинейные формы $f,f_1,f_2:X\times Y\to\mathbb{R}$. Доказать сдедующее утверждение. Утв. Предположим, что для всякого $n$ и всяких $x_k,y_k$ для которых справедливы равенства $\sum_{k=1}^nf_1(x_k,y_k)=\sum_{k=1}^nf_2(x_k,y_k)=0$, выполнено и $\sum_{k=1}^nf(x_k,y_k)=0$. Тогда существуют числа $\lambda_1,\lambda_2$ такие, что $f=\lambda_1 f_1+\lambda_2 f_2.$ Решение. Рассмотрим диаграммы $$\xymatrix{X\times Y\ar[rd]_{f_\ae}\ar[rr]^{r}&&{X\otimes Y}\ar[ld]^{h_\ae}\\&\mathbb{R}}$$ индекс $\ae$ обозначает либо 1 либо 2 либо ничего. $r$ -- каноническое билинейное отображение $(x,y)\mapsto x\otimes y.$ Отображение $h_\ae$ -- линейный функционал, $$h_{\ae} \Big(\sum_k x_k\otimes y_k\Big)=\sum_kf_{\ae}(x_k,y_k),\quad f_{\ae}=h_{\ae}r.$$ Из условия задачи следует, что $\ker h_1\cap\ker h_2\subseteq\ker h$. В силу стандартной теоремы Лагранжа имеем $h=\lambda_1h_1+\lambda_2h_2.$ ЧТД

Padawan а-уу!?