Различные уравнения и не только

[DjD USB]

1)Решить в простых числах уравнение а)$p^2+pq+r^2=r^2$
б)$p^3+q^3+1=p^2q^2$
2)Докажите,что для любого натурального n>2 существует меньшее простое число,на которое n не делится.
3)Решить в целых числах уравнение:
а)$1!+2!+....+n!=y^z$
б)$3^y-2^x=1$
4)Докажите,что число $5^a+5^b$(где а и b-натуральные числа) представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел,тогда и только тогда когда а и b одной четности.

[kw_artem]

3.б) $x=y=1$

[DjD USB]

kw_artem в сообщении #603711 писал(а):

3.б) $x=y=1$

Ответ любой может написать Обоснование!!!

[kw_artem]

тройку через бином Ньютона раскладываем и получаем что решить нужно уравнение:

$$\sum\limits_{n=1}^y 2^n=2^x.$$

Всего два случая:
1)$y>1,\;x>y$. в этом случае $x$ не может равняться $y$
а также если взять $x=y+1$ то всегда $\sum\limits_{n=1}^y 2^n < 2^{y+1}.$ (вообще $2^{y+1}-\sum\limits_{n=1}^y 2^n=2.$)
2)$y=1$ тогда $x=1$

[DjD USB]

kw_artem в сообщении #603713 писал(а):

тройку через бином Ньютона раскладываем и получаем что решить нужно уравнение:

$$\sum\limits_{n=1}^y 2^n=2^x.$$

а также если взять $x=y+1$ то всегда $\sum\limits_{n=1}^y 2^n < 2^{y+1}.$ (вообще $2^{y+1}-\sum\limits_{n=1}^y 2^n=2.$)

Пусть x=3 y=2,тогда .....

[kw_artem]

да, Вы правы, как всегда поспешил

-- 07.08.2012, 13:09 --

вот блин, про биномиальные коэфф. забыл

[lim0n]

В условии задачи 1a что-то не так...

[DjD USB]

lim0n в сообщении #603718 писал(а):

В условии задачи 1a что-то не так...

Да,спасибо что сказали $p^2+pq+q^2=r^2$

[kw_artem]

DjD USB в сообщении #603706 писал(а):

2)Докажите,что для любого натурального n>2 существует меньшее простое число,на которое n не делится.

на счет этой задачи ничего в голову не приходит кроме единственного -- предположить обратное, что существует такое число $n$ кот. делится на все простые числа меньше него, и использовать теорему Бертрана. не знаю верно ли решение? пусть $p_1=2, p_2=3,\ldots,p_m$ ряд всех простых чисел по возрастанию меньших числа $n$. тогда $n\geq p_1 p_2\ldots p_m$. по принятой гипотезе верно предположение: все числа $h$ которые $p_m<h<n$ -- не простые. c другой стороны если использовать теорему: для любого $k$ найдётся такое простое $p$ что $k<p<2k$, -- т.к. $p_1 p_2\ldots p_m\geq 2p_m$ получается что между $p_m$ и $n$ есть простое число

[lim0n]

1б. $p=2,q=3$

$p^3+q^3+1=p^2q^2\Leftrightarrow p^3+1=p^2q^2-q^3\Leftrightarrow (p+1)(p^2-p+1)=q^2(p^2-q)$
В правой части равенства три множителя, следовательно один из множителей левой части делится на $q$. Из этого следует, что простые числа $p$ и $q$ разной чётности...

[Mathusic]

DjD USB в сообщении #603706 писал(а):

1)Решить в простых числах уравнение а)$p^2+pq+r^2=r^2$

$(p+q-r)(p+q+r)=pq$ Дальше понятно.

(Ответ такой получился)

$(3,5,7), (5,3,7)$

[DjD USB]

Mathusic в сообщении #603741 писал(а):

DjD USB в сообщении #603706 писал(а):

1)Решить в простых числах уравнение а)$p^2+pq+r^2=r^2$

$(p+q-r)(p+q+r)=pq$ Дальше понятно.

(Ответ такой получился)

$(3,5,7), (5,3,7)$

Можно по подробней все таки

-- Вт авг 07, 2012 13:33:47 --

kw_artem в сообщении #603736 писал(а):

DjD USB в сообщении #603706 писал(а):

2)Докажите,что для любого натурального n>2 существует меньшее простое число,на которое n не делится.

на счет этой задачи ничего в голову не приходит кроме единственного -- предположить обратное, что существует такое число $n$ кот. делится на все простые числа меньше него, и использовать теорему Бертрана. не знаю верно ли решение? пусть $p_1=2, p_2=3,\ldots,p_m$ ряд всех простых чисел по возрастанию меньших числа $n$. тогда $n\geq p_1 p_2\ldots p_m$. по принятой гипотезе верно предположение: все числа $h$ которые $p_m<h<n$ -- не простые. c другой стороны если использовать теорему: для любого $k$ найдётся такое простое $p$ что $k<p<2k$, -- т.к. $p_1 p_2\ldots p_m\geq 2p_m$ получается что между $p_m$ и $n$ есть простое число

Я не знаю верно ли ваше решение но все гораздо проще.Рассмотрим числа n и n-1,они взаимно просты значит при разложении на простые у них не будет ни одного общего простого.

[Shadow]

kw_artem, точно не делится на $n-1$. И если $n-1$ не простое... то на его простые делители

[Mathusic]

DjD USB в сообщении #603747 писал(а):

Можно по подробней все таки

Единственность разложения на простые.

-- Вт авг 07, 2012 14:43:27 --

kw_artem в сообщении #603736 писал(а):

на счет этой задачи ничего в голову не приходит кроме единственного

kw_artem в сообщении #603736 писал(а):

использовать теорему Бертрана

Да не, тут, наверно, без неё надо. С ней слишком легко - между $\frac{n}2$ и $n$ есть простое. Вы что-то сущностей сверх меры в своем д-ве наплодили.

DjD USB в сообщении #603747 писал(а):

Я не знаю верно ли ваше решение но все гораздо проще.Рассмотрим числа n и n-1,они взаимно просты значит при разложении на простые у них не будет ни одного общего простого.

Ага, типа такого!!

[DjD USB]

Mathusic в сообщении #603758 писал(а):

DjD USB в сообщении #603747 писал(а):

Можно по подробней все таки

Единственность разложения на простые.

Но как вы решали систему?Вот что мне интересно.