2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Система с бесконечным числом неизвестных (вероятности)
Сообщение02.04.2007, 23:14 


01/04/07
4
У меня такая система:
$ 
\left\{ \begin{array}{l} 
p_1 = 2-2k-2p_0,\\ 
p_i  = 2kp_{i-2}-p_{i-1}, i=2, 3, ...\\
p_0+p_1+p_2+...=1
\end{array} \right. 
$
В последнем уравнении бесконечное количество членов.
Требуется выразить p_0 через k.
Помогите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.04.2007, 23:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
А Вы, часом, нигде не ошиблись? а то ответ уж больно странный получается.

Ну да ладно. По существу: один из возможных подходов — воспользоваться идеей, аналогичной вычислению формулы общего члена для чисел Фибоначи. Дальше, получив общий член, заняться сложением. Попутно выяснить, для каких $k$ и $p_0$ сумма существует. После чего получить ответ: сумма всегда (когда существует), равна 1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2007, 01:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
незваный гость писал(а):
После чего получить ответ: сумма всегда (когда существует), равна 1.

Кроме случая $k=1,p_n=0,n\geqslant0$.

То, что кроме указанного случая сумма всегда равна $1$, проще доказать так:
Если обозначить $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}p_nx^n$, то получаем $f(x)=\frac{p_0+(p_0+p_1)x}{1+x-2kx^2}$. Если ряд сходится, то он обязан равняться $f(1)\ \overset{k\ne1}{=}\ \frac{2p_0+p_1}{2-2k}=1$.

Но выяснять, когда ряд сходится, по-моему, проще так, как предлагал незваный гость.

Upd. Может быть, предполагается $k\in[0;1)$? Тогда, действительно, можно $p_0$ выразить через $k$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2007, 11:57 


01/04/07
4
Спасибо большое за советы.
Я проверяла вывод системы несколько раз, кажется, что все так и получается. Только забыла вставить, что p_i - это вероятности, то есть их значения в диапазоне от 0 до 1.
По совету незваный гость (во всяком случае, как поняла) я пыталась получить выражение для общего члена по аналогии с числами Фибоначчи. Обозначила p_0=m и выразила p_i через m и k.
Вот формула:
p_i= (\frac m 2+\frac {4k+3m-4} {2\sqrt{1+8k}})(\frac{-1-\sqrt{1+8k}} 2)^i+(\frac m 2-\frac {4k+3m-4} {2\sqrt{1+8k}})(\frac{-1+\sqrt{1+8k}} 2)^i.
Затем суммирую от 0 до бесконечности.
Слева имеем единицу, справа Maple выдает тоже единицу. Как мне получить выражение для m через k, я не могу понять.

Добавлено спустя 30 минут 54 секунды:

Если суммировать от 1 до бесконечности, то слева имеем 1-m, тогда результат - m=1. Что-то мне не нравится это.

Добавлено спустя 31 минуту 29 секунд:

Последнее мое предложение - ошибка. Там тоже ничего не выводится.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2007, 13:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Выражение m через k при $k\in[0;1)$ можно получить из тех соображений, что ряд $\sum p_n$ должен сходиться, т.е. коэффициент при $(\frac{-1-\sqrt{1+8k}}2)^i$ должен равняться 0.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2007, 19:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Все это суммирование будет иметь смысл, только если ряд сходится. Фишка в том, где он сходится (т.е., когда $p_i \to 0$). А Maple? что Maple: он условий сходимости не проверяет.

lera_ писал(а):
Если суммировать от 1 до бесконечности, то слева имеем 1-m, тогда результат - m=1. Что-то мне не нравится это.

А почему? Вы не находите, что это логично? У Вас нулевой член аккурат равен $m$.

RIP писал(а):
Тогда, действительно, можно $p_0$ выразить через $k$.
Ваше выражение $\frac{2p_0+p_1}{2-2k}$, конечно же верно. Но если подставить $p_1$ из условия, получим $f(1)\ \overset{k\ne1}{=}\ 1$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.04.2007, 02:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
незваный гость писал(а):
:evil:
RIP писал(а):
Тогда, действительно, можно $p_0$ выразить через $k$.
Ваше выражение $\frac{2p_0+p_1}{2-2k}$, конечно же верно. Но если подставить $p_1$ из условия, получим $f(1)\ \overset{k\ne1}{=}\ 1$.

К чему Вы это сказали? $p_0$ выражается через $k$ из других соображений (см. мой предыдущий пост). А выражение $\frac{2p_0+p_1}{2-2k}$ я приводил как раз для док-ва того, что сумма равна 1. Или я чего-то не догнал? :?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.04.2007, 03:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
RIP писал(а):
К чему Вы это cказали?

Перечитал все вместе, понял. Мое сообщение было, в основном, к тому, что последнее равенство выполняется всегда, когда ряд сходится (т.е., из него ничего извлечь нельзя).

P.S. А этот случай сходимости я, кстати, упустил. :oops:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.04.2007, 06:15 


01/04/07
4
Всем спасибо за участие к моей проблеме.

незваный гость писал(а):
А почему? Вы не находите, что это логично? У Вас нулевой член аккурат равен $m$.


Я же написала там ниже, что ошиблась. То есть считала непонятно что. Теперь, кажется, более или менее разобралась.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group