Задачи из Любича и Глазмана

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #603482 писал(а):

В том смысле: откуда следует, что такой набор вообще существует?

я это уже наисал , а Вы это цитировали: существование такого набора и есть определение конечномерного пространства. Я только максимальность понимаю не в Вашем смысле, а в общепринятом.

[kw_artem]

svv в сообщении #603461 писал(а):

Прочитайте в книге Ефимова, Розендорна лемму о базисном миноре. Лишь тогда наступит полное и окончательное удовлетворение.

просмотрел, как раз это мне понятно.
а оперирование с базисным столбцами не то же самое что с рангами? ранг матрицы это количество базисных столбцов.

-- 06.08.2012, 17:42 --

всё таки доказательство через миноры -- не подходит, ведь нужно использовать средства которые даны в книге.(т.е. через данную теорему)

[svv]

kw_artem писал(а):

а оперирование с базисным столбцами не то же самое что с рангами? ранг матрицы это количество базисных столбцов.

Лемма, которую я показал, хороша, а не повезло ей с названием. Может показаться, что она опирается на такие понятия, как базис, ранг и т.д., тогда как она намного более низкоуровневая. Она создаёт основу для ответов на многие последующие вопросы.

Вот, скажем, ранг матрицы — это количество базисных столбцов. По Ефимову-Розендорну, это максимальное количество линейно независимых столбцов. Ну, а вдруг в матрице $m\times (m+1)$ их может быть $m+1$? Не может? а почему? И почему базисных строк всегда столько же, сколько базисных столбцов?

Мне кажется, что достоинство леммы в том, что изложение там ведётся на таком уровне, что подобных вопросов не возникает.

[ewert]

svv в сообщении #603528 писал(а):

Лемма, которую я показал, хороша, а не повезло ей с названием. Может показаться, что она опирается на такие понятия, как базис, ранг и т.д., тогда как она намного более низкоуровневая. Она создаёт основу для ответов на многие последующие вопросы.

Что значит "не повезло с названием", если там по существу используются определители -- не только в формулировке, но и при доказательстве. Вообще эта лемма оставляет впечатление некоторой нелепости: авторы упоминают определители как нечто само собой разумеющееся и хорошо известное читателю, в т.ч. предполагаются известными и свойства определителя, в т.ч. и связанные с линейной зависимостью строк -- в то время как сами авторы только что лишь ввели понятие линейной зависимости, причём обсасывая его с нуля и со всех сторон тщательнейшим образом!

Ну и в любом случае: решать стартовую задачу с использованием определителей -- немногим лучше, чем использовать для этого лемму Цорна. Этот фрагмент книжки откровенно неудачен.

[ewert]

kw_artem в сообщении #603496 писал(а):

нужно использовать средства которые даны в книге.(т.е. через данную теорему)

Наверное, всё-таки через данную лемму. Которая вообще-то для доказательства 11-й теоремы не нужна: формулировка этой леммы несколько неуклюжа, а её доказательство настолько банально, что практически без потерь встраивается непосредственно в доказательство теоремы. Скорее всего, Глазман с Любичем вставили эту лемму по чисто методическим соображениям -- как подсказку к доказательству теоремы (учитывая, что это всё-таки задачник).

[kw_artem]

ewert в сообщении #604046 писал(а):

Наверное, всё-таки через данную лемму. Которая вообще-то для доказательства 11-й теоремы не нужна: формулировка этой леммы несколько неуклюжа, а её доказательство настолько банально, что практически без потерь встраивается непосредственно в доказательство теоремы. Скорее всего, Глазман с Любичем вставили эту лемму по чисто методическим соображениям -- как подсказку к доказательству теоремы (учитывая, что это всё-таки задачник).

уже третий день возвращаюсь к этой теореме и делаю попытки доказательства при помощи той леммы, но ничего путного, т.е. кроме уродливых доказательств ничего в голову не лезет. все попытки сводятся к следующему: беру случай, когда вся система $\{x_k\}\limits_1^m$ линейно независимая (доказательство этого случая лекго переносится на систему линейно зависимого характера). далее для удобства представляю векторы в определенном порядке $x_1, x_2,\ldots, x_m$ и беру $m$ лин. оболочек: первую для $\{x_1\}$, вторую для $\{x_1, x_2\}$, третью для $\{x_1, x_2, x_3\}$, и т.д. Произвольно выбранные $m+1$ векторов окажутся распределёнными между этими лин.оболочками. дальше возникают трудности: доказательство вообще длинющим становится, что тоска наваливается

уверен что рассуждаю не совсем верно, и что есть короткое доказательство...

-- 09.08.2012, 14:25 --

(Оффтоп)

уж не думал что такая тривиальная с виду теоремка столько времени займёт

[ewert]

Просто по индукции. Пусть $\vec u_1,\vec u_2,\ldots,\vec u_{m+1}$ принадлежат линейной оболочке векторов $L_m=L(\vec x_1,\vec x_2,\ldots,\vec x_{m})$ и при этом хотя бы один из них не принадлежит линейной оболочке $L_{m-1}=L(\vec x_1,\vec x_2,\ldots,\vec x_{m-1})$ (если они все принадлежат $L_{m-1}$, то они линейно зависимы по индукционному предположению). Для определённости считаем, что $\vec u_{m+1}\not\in L_{m-1}$; тогда, согласно лемме, при некотором наборе $\{\alpha_k\}_{k=1}^m$ все векторы $\vec w_k\equiv\vec u_k-\alpha_k\vec u_{m+1}$ принадлежат $L_{m-1}$. По индукционному предположению они линейно зависимы, т.е. $\sum\limits_{k=1}^{m}\gamma_k\vec w_k=\vec0$. Но тогда и $\sum\limits_{k=1}^{m+1}\gamma_k\vec u_k=\vec0$, где $\gamma_{m+1}=-\sum\limits_{k=1}^{m}\alpha_k\gamma_k$.

Если же не ссылаться на лемму, то ровно та же идея реализуется за почти такое же время, ну разве что на строчку длиннее.

-- Чт авг 09, 2012 14:59:27 --

(Оффтоп)

kw_artem в сообщении #604418 писал(а):

уж не думал что такая тривиальная с виду теоремка столько времени займёт

Она не тривиальная -- это самая неочевидная теорема во всём этом круге вопросов (про линейную независимость и базисы).

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #604428 писал(а):

Она не тривиальная

Ага, особенно если наотрез отказаться учиться решать СЛУ методом Гаусса и приводить матрицы к треугольному виду. Далеко шагнула педагогическая наука.

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #604430 писал(а):

Ага, особенно если наотрез отказаться учиться решать СЛУ методом Гаусса и приводить матрицы к треугольному виду. Далеко шагнула педагогическая наука.

А вот это смотря кому курс предназначается. Я лично если линейную алгебру читаю, то нематематикам, и потому всегда доказываю это (или эквивалентное ему) утверждение исключительно ссылкой на метод Гаусса. Поскольку нематематики, да ещё и в 1-м семестре, к подобным логическим пируэтам просто не готовы; они плохо готовы даже и к просто осознанию такого абстрактного понятия, как линейное пространство, чего уж говорить об этом. А вот если бы читал математикам, то, вполне возможно, доказывал бы именно так (но без леммы, конечно). А может, и нет -- тут есть разные привходящие обстоятельства, связанные с выбором порядка изложения и необходимостью увязки его с практическими занятиями.

Да, это было во-первых. А во-вторых, конкретно в данной книжке метод Гаусса как раз неуместен -- это ведь задачник, нацеленный на усвоение внутренней логики курса. Так что здесь всё нормально, в противоположность Ефимову-Розендорну.

[kw_artem]

ewert, и действительно просто! жаль что не додумался

[ewert]

(Оффтоп)

kw_artem в сообщении #604440 писал(а):

жаль что не додумался

А ведь у них же была подсказка -- они ведь не случайно сдвинули $m$ в лемме по сравнению с теоремой на единичку. Это явный намёк на индукцию.

[kw_artem]

(Оффтоп)

если честно, идея с индукцией приходила, но сразу её откинул, зациклился на первом решении ... сам виноват; ну что поделаешь: вата вместо мозгов

[kw_artem]

а можно говорить о полноте одной системы относительно другой, даже если она не является подсистемой последней?

[ewert]

kw_artem в сообщении #604467 писал(а):

а можно говорить о полноте одной системы относительно другой, даже если она не является подсистемой последней?

При желании можно говорить о чём угодно (лишь бы непротиворечиво). Однако конкретно Глазман с Любичем терман "полная" применяют исключительно к подсистемам.

[kw_artem]

извините за глупый вопрос
формулировка "в том и только в том случае" означает то же, что "тогда и только тогда", т.е. "необходимо и достаточно" -- следствие (или стрелка) в обе стороны? не уверен