Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?

[worm2]

Ktina в сообщении #603355 писал(а):

Как с помощью интеграла доказать, что длина окружности радиуса $R$ равна $2\pi R$?

Что-то мне режет глаз такая постановка вопроса.
Не одному мне, как оказалось при внимательном прочтении.

Профессор Снэйп в сообщении #603373 писал(а):

Вообще, как мы определяем число $\pi$? Если как половину длины окружности единичного радиуса, то мы не имеем право его использовать при нахождении длины

[ewert]

Mathusic в сообщении #603362 писал(а):

А можно сначала найти площадь через интеграл $\pi r^2$ (что даже почти школьными методами) от той самой понятно какой функции,

Тогда уж лучше вообще не интегрировать, а просто принять эту формулу для площади за определение числа $\pi$.

[Mathusic]

worm2 в сообщении #603455 писал(а):

Что-то мне режет глаз такая постановка вопроса.
Не одному мне, как оказалось при внимательном прочтении.

Не вам одному. Вообще как бы понятно, что изначально вопрос - это некий сорт тонкого троллинга
ewert
Ну да, тут порочные круги вылезают везде.
Формулу длины окружности нужно постулировать

Хотя вообще, наверное, можно ввести, например тригонометрические функции через разложение в ряд, вывести их свойства, дать определение $\pi$, а потом уже и доказать.
Правда не факт, что разглаженная складка здесь не выпячится в другом месте

[Ktina]

worm2 в сообщении #603455 писал(а):

Ktina в сообщении #603355 писал(а):

Как с помощью интеграла доказать, что длина окружности радиуса $R$ равна $2\pi R$?

Что-то мне режет глаз такая постановка вопроса.
Не одному мне, как оказалось при внимательном прочтении.

Профессор Снэйп в сообщении #603373 писал(а):

Вообще, как мы определяем число $\pi$? Если как половину длины окружности единичного радиуса, то мы не имеем право его использовать при нахождении длины

Ну хоть кто-то догадался...

-- 06.08.2012, 16:03 --

На самом деле я просто глупо сформулировала вопрос (это было ненамеренно и неосознанно).

-- 06.08.2012, 16:05 --

Надо было просто спросить, как с помощью интеграла найти длину окружности.

[Профессор Снэйп]

Не, ну вообще-то $\pi$ можно определить разными методами, некоторые из которых никак не связаны с окружностями. Например, положить

$$ \pi = \sqrt{6\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}} $$

Или сказать, что $\pi$ - это наименьшее положительное число $x$, для которого

$$ \sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = 0 $$

(естественно, предварительно доказав, что такое $x$ существует). Ну а потом уже доказывать, что определённое необычным образом число $\pi$ действительно имеет отношение к длине окружности.

Оптимальный путь мне видится таким. Вводим синусы и косинусы через степенные ряды, доказываем их свойства, определяем $\pi$ как наименьший положительный ноль синуса, потом выписываем интеграл, равный длине окружности, и тригонометрическими преобразованиями его берём.

[svv]

Профессор Снэйп в сообщении #603521 писал(а):

Вводим синусы и косинусы через степенные ряды

Нет, нет, как решения дифференциального уравнения $y''+y=0$ (удовлетворяющие некоторым простым условиям, полностью их определяющим).

[Профессор Снэйп]

svv в сообщении #603569 писал(а):

Нет, нет, как решения дифференциального уравнения $y''+y=0$ (удовлетворяющие некоторым простым условиям, полностью их определяющим).

Ну можно и так.

Интересно, насколько сложно всё там будет. Пусть $y$ является решением уравнения $y'' + y = 0$ и $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$. Как теперь доказать, что существует наименьший положительных $x$ со свойством $y(x) = 0$. Считаем, что про синусы с косинусами нам пока ничего не известно.

[Munin]

От дифура можно перейти к степенному ряду.

Потушить огонь, вылить воду из чайника, и задача сведена к уже решённой...

[Профессор Снэйп]

Munin в сообщении #603584 писал(а):

От дифура можно перейти к степенному ряду.

Неинтересно. Может, можно без этого обойтись будет, как-нибудь покрутить эти диффуры туда-сюда...

Вот, например, утверждение: каждое решение диффура $y'' + y = 0$ периодично (ну или хотя бы ограничено). Можно это доказать, не переходя к степенным рядам и не используя синусы с косинусами?

[Munin]

Не берусь. Каждый раз упираюсь в синусы-косинусы.

[Профессор Снэйп]

Не, ну ограчиненность любого решения чисто интуитивно понятна. Так как $y'' = -y$, то чем больше становится $y$, тем быстрее его производная начинаеть убывать. И в конце концов становится отрицательной, и начинает убывать сам $y$. А если $y$ становится шибко отрицательным, то, наоборот, производная быстро становится положительной и $y$ начинает расти.

Теперь бы всю эту "интуицию" формализовать надо...

[Munin]

Профессор Снэйп в сообщении #603604 писал(а):

И в конце концов становится отрицательной

Это хорошо интуитивно, но на доказательство не тянет, скорее, убедительный handwaving.

-- 06.08.2012 22:55:32 --

Например, в похожем уравнении $y'+y=0$ производная убывает-убывает (начиная с положительной), а через нуль так и не переваливает.

[Профессор Снэйп]

Munin в сообщении #603606 писал(а):

на доказательство не тянет

В таком виде да, не тянет. Но можно подумать над формализацией.

[Munin]

Ваши рассуждения похожи на неформальное представление того, что я пытался: представил это как систему уравнений 1-й степени, нарисовал фазовый портрет, и искомое свойство переформулировал как замкнутость траекторий на фазовом портрете. Но дальше, как ни смотри на эту красивую картинку, любые выводы касательно неё вынужденно опираются хотя бы на эквивалентность определений скалярного произведения векторов $|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\widehat{\mathbf{ab}}=|\mathbf{a}|\operatorname{pr}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}=a_xb_x+a_yb_y,$ которая тоже доказывается через синусы-косинусы.

[Xaositect]

$(y^2 + y'^2)' = 0$ можно простыми преобразованиями доказать. Ограниченность отсюда сразу следует. Или это считается использованием синусов и косинусов?