Как вычислить сумму?

[sng1]

Помогите, пожалуйста, вычислить сумму $\sum_{t=0}^K\binom{K}{t}2^{K*(1-t/K)^3}$

[Sonic86]

Вряд ли ее можно вычислить. Найти асимптотику по $K$ можно. Попробуйте сделать простейшие оценки: как растут края и середина суммы, может увидите ее сразу.

[sng1]

Обозначим сумму через $S$, а $t/K=:x$. Попробуем найти $L:=\lim_{K\rightarrow\infty }\frac{\log_2 S}{K}=\lim_{K\rightarrow\infty }\frac{\log_2 \sum_{t=0}^K 2^{K(H(x)+(1-x)^3)}}{K}$, где $H(x)$ - двоичная энтропия. Можно ли найти этот предел?

[sng1]

Не может ли предел быть равен $\max_0^1 H(x)+(1-x)^3$?

[sng1]

Может быть можно попробовать вычислить предел через интеграл?
$L=\lim\limits_{K\to\infty }\log_2{\int\limits_{-K/2}^{K/2}e^{-2x^2/K}2^{K(1/2-x/K)^3} dx}/{K}$

[mihiv]

Очевидно,что предел $1<L<2$ ,поскольку $2^K<S<2^{2K}$.

[sup]

$\lim \limits_{K\rightarrow\infty }\frac{\log_2 S}{K}=2$
Как уже отмечалось, $S <2^{2K}$.
С другой стороны, для любого $n$ имеем
$S > 2^{K-(n/K)^3} \sum \limits_{i \leqslant n}C_K^i$
Для последней суммы уже имеются "приемлемые" оценки (http://dxdy.ru/topic41270.html). Полагая, например, $n=3K/4$, получим для некоторого $a<2$
$S > C_12^K(2^K-C_2a^K)$

[mihiv]

sup в сообщении #603326 писал(а):

$\lim \limits_{K\rightarrow\infty }\frac{\log_2 S}{K}=2$

С этим не соглашусь,потому что верхнюю оценку можно улучшить,а именно,заменим в показателе двойки $(1-\frac mK)^3$ на $(1-\frac mK)$Тогда получим

$$S<2^K\sum \limits _{m=0}^KC^m_{K}2^{-m}=2^K(1+\frac 12)^K=3^K$$

Отсюда

$$L<\log _23$$

[sup]

Точно. Это я неправильно понял степень двойки

[sup]

Ну тогда по формуле Стирлинга получим
$S \sim \sqrt {\frac {K}{2\pi} } \int \limits_0^1 \frac {1}{\sqrt {x(1-x)}}\left (\frac {2^{(1-x)^3}}{x^x(1-x)^{1-x}}\right )^K dx$
А значит должно быть
$S = C\left (\frac {2^{(1-a)^3}}{a^a(1-a)^{1-a}}\right )^K(1+o(1))$,
где $a$ корень уравнения
$\ln (1-x) -\ln x = 3 (1-x)^2\ln 2 $

[sng1]

У меня получилось перед интегралом $\sqrt{K}$ в знаменателе (где-то я что-то не учел), но в принципе для вычисления $L$ это не важно. Кто-бы еще намекнул как был взят интеграл?!

[sng1]

И еще один вопрос. Всегда ли $\lim\limits_{K\to\infty }\frac{\log_2 \sum\limits_{t=0}^K 2^{K(H(x)+p(x))}}{K}=\max\limits_{x \in [0,1]}( H(x)+p(x))$, где $p(x)$ - полином некоторой фиксированной степени, или есть некоторые ограничения на полином?