В чем смысл интеграла Стилтьеса?

[Sychuan]

У меня такой вопрос, который давно мучают меня))
В чем смысл интеграла Стильтеса (геометрический или физический)? Для чего его придумали? Что он показывает?

[gris]

Интеграл Стилтьеса (обратите внимание на положение мягкого знака) (Римана-Стилтьеса) обобщает понятие определённого интеграла Римана. Физический смысл имеется. Он связан с механическими моментами точечных и прочих масс.
Дальнейшее обобщение — интеграл Лебега-Стилтьеса.
Интеграл позволяет интегрировать более широкий класс функций и, соответственно, решать задачи, которые интегралу Римана не под силу.

[Sychuan]

Спасибо. Да мягкий знак я опечатался, со мной такое бывает. А можно пример задачи, где мне нужно будет использовать интеграл Стилтьеса? Я чувствую, что теоретически я не пойму. И еще один вопрос тогда, интегралы Лебега и Стилтьеса применяются в ТФКП, просто я не нашел их в учбебнике даже упоминания.? )

[мат-ламер]

Может также использоваться для вычисления мат. ожидания случайной величины через её функцию распределения (которая не обязательно должна быть непрерывной).

[gris]

Из несложных это задачи из механики, где кроме "распространённых" по длине масс или нагрузок действуют точечные. И требуется найти какие-нибудь статические моменты. Можно не мучится с разбивкой на интервалы. Помнится, у Фихтенгольца достаточно подробно изложено.

[мат-ламер]

gris в сообщении #603217 писал(а):

где кроме "распространённых" по длине масс или нагрузок действуют точечные

Это мне напомнило, что этот интеграл встречается при проведении вычислений с обобщёнными функциями.

[ewert]

В ТФКП интеграл Стилтьеса не нужен. Для механики он неестественен, т.к. одномерен. Он необходим в теории вероятностей, но лишь по сугубо формальным причинам -- он позволяет единообразно описывать случайные величины любого типа (во втузовских курсах обычно рассматривают отдельно дискретные и отдельно абсолютно непрерывные величины, поскольку в практических задачах получается именно так, и поэтому интеграл Стилтьеса обычно не вводят). В матанализе этот интеграл с необходимостью возникает, например, при попытке полного описания всех линейных ограниченных функционалов над пространством непрерывных функций; по этой же причине он порождает некоторые обобщённые функции. Этот же интеграл (правда, с обобщением на операторнозначные меры) необходим для формулировки спектральной теоремы (спектрального разложения) для самосопряжённых операторов общего вида.

[Sychuan]

Спасибо, всем кто ответил. Еще один вопрос,ч тобы не засорять форум темами, интеграл Лебега в ТФКП применяется?